Сплайн- интерполяция

Сплайном соответствующей функции f (x), построенным по данным узлам сетки { x _i }, i=0,..., n, называется функция S^m (x), удовлетворяющая следующим условиям:

a) условие кусочно-полиномиальной функции: на каждом отрезке [ x_i-1, x_i ] (i=1, …, n) функция является многочленом степени m;

б) условие непрерывности: сплайн-функция и ее (m-1) производная непрерывны в заданной области;

в) условие интерполирования: в узлах сетки значение сплайна и значение функции совпадают:

(i=0, …, n).

Линейный сплайн

Построим на отрезке [ a, b ] функцию S_i (x) так, чтобы на каждом отрезке [ x _i-1, x _i ] (i=1,..., n) эта функция являлась бы линейным многочленом вида:

S_i (x) =a_i+ (x_i-x) b_i.

Поскольку

S_i(x_i)=f(x_i);

S_i (x_i-1) =S_i-1 (x_i-1) =f (x_i-1),

то, обозначив y_i=f(x_i) и h_i=x_i-x_i-1, получим формулы для вычисления коэффициентов:

a_i=y_i,

b_i= (i=1, …, n).

Таким образом, линейный сплайн имеет вид

S_i (x) = y_i + (x_i - x) .