Общая постановка задачи многокритериальной оптимизации

Сложность и комплексность проблем, возникающих при выработке решений в многокритериальных задачах привели к тому, что вопросы формирования практически применимых критериев перестали быть только искусством, основанным на интуиции, а превратились в серьезное научное направление, важность которого возрастает с каждым днем.

Общая постановка задачи принятия решений в таких условиях выглядит следующим образом:

1) имеется некоторое множество альтернатив А=(a₁, a₂, …, a_m) причем каждая альтернатива а_i характеризуется определенной совокупностью свойств

c₁, c₂, c₃,..., c_n; _.

2) имеется совокупность критериев q = (q_l, q₂,..., q_i, ..., q_n), т, е. каждая альтернатива характеризуется векто­ром

q (a) = < q₁(а), q₂(а),..., q_i(а),..., q_n( a )>;

3) необходимо принять решение о выборе одной из альтернатив, причем решение называется простым, если выбор производится по одному критерию, и сложным, если выбранная альтернатива не является наилуч­шей по какому-то одному критерию, но может оказаться наиболее приемлемой для всей их совокупности;

4) задача принятия решения по выбору альтернативы на множестве критериев формально сводится к отысканию отображения j, которое каждому вектору q ставит в со­ответствие действительное число

W = j(q)= j (q₁, q₂,..., q_i,..., q_n),

определяющее степень предпочтительности данного реше­ния.

Оператор φ называют интегральным (обобщенным) кри­терием. Интегральный критерий присваивает каждому ре­шению по выбору альтернативы соответствующее значение эффективности W. Это позволяет упорядочить множество решений по степени предпочтительности. Рассмотрим ос­новные методы формирования обобщенных критериев.

Все методы решения задач многокритериальной оптимизации в условиях определенности (задачи типа JA) по признаку количества применений решающего правила делятся на две большие группы: одношаговые и многошаговые, а по признаку – способ формирования решающего правила – на эвристические и аксиоматические.

Сущность подавляющего большинства одношаговых методов заключается в преобразовании векторного показателя эффективности в скалярный, после чего задача оптимизации решается по классической схеме.

Известно несколько способов решения многокритериальных задач, но наиболее распространенными эвристическими методами такого типа являются методы обобщенного и главного показателя, целевое программирование и т.д.

1. 2 Метод главного (основного) критерия (маргинальный подход)

Наиболее простой метод построения интегрального критерия заключается в том, что один из критериев q_k принимается в качестве главного, а все остальные учитываются в виде ограничений, определяющих область допустимых альтернатив:

W = q_k;

q_i ³ q_i⁽⁰⁾; i=1, 2,..., l

q_{i £} q_i⁽⁰⁾; i =l+1, l+2,..., n; i¹ k,

где q⁽⁰⁾ = (q₁⁽⁰⁾, q₂⁽⁰⁾,..., q_n⁽⁰⁾) —вектор, определяющий допустимые значения по всем критериям.

Альтернати­вы, не укладывающиеся в заданные границы, сразу же отбрасываются как не конкурентноспособные. Полученные практические рекомендации, очевидно, будут зависеть от того, как будет выбран главный критерий и как будут выбраны ограничения для вспомогатель­ных критериев.

В такой формулировке задача принятия оптимального решения при выборе альтернативы форму­лируется как задача математического программирования:

max (min) [ q_k(a) ], при

q_i ³ q_i⁽⁰⁾; i=1, 2,..., l

q_{i £} q_i⁽⁰⁾; i =l+1, l+2,..., n; i¹ k.

В зависимости от вида функций q_k( a ), q_i( a ) и множе­ства А для решения задачи выбора оптимальной альтерна­тивы используются методы линейного, линейного цело­численного, нелинейного, дискретного и динамического программирования.

В соответствии с данным подходом:

1) выбор варианта по­строения автоматизированной информационно-измерительной системы, решающей задачу контроля сложного оборудования, может потребовать того, чтобы критерий достоверности результатов контроля был максимальным при условии, что быстродействие системы контроля не ниже требуемого, а суммарная стоимость на создание и эксплу­атацию системы — не выше заданной;

2) выбор плана ра­боты промышленного предприятия в автоматизированных системах типа АСУП может потребовать, чтобы прибыль была максимальна, план по ассортименту выполнен, а себестоимость выпускаемой продукции — не выше заданной и т. д.

Основным недостатком предложенного подхода явля­ется то, что альтернативы оцениваются по существу только по одному критерию, а значения других критериев, если они удовле­творяют ограничениям, не учитываются. Следовательно, метод главного критерия можно применять только тогда, когда имеются обоснованные соображения (или указания, рекомендации) о наибольшей важность одного из критериев и величинах ограничений. Достоинство метода заключается в сравнительной простоте построения критерия.

Часто этот подход к формированию обобщенного (главного) критерия называют маргинальным.