Ход работы. Функция задана таблицей, состоящей из четырёх узлов.

3.1 Вариант

Функция задана таблицей, состоящей из четырёх узлов.

1. Провести интерполировать этой функции кубическим сплайном;

2. Вычислить f ().

3. Выполнить чертёж: в одной системе координат нарисовать узлы интерполяции и график полученной сплайн-функции.

3.2 Допуск к работе

1. Что такое степень сплайна?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Запишите общий вид кубического сплайна на каждом из частичных отрезков.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Какое условие накладывают на искомую сплайн-функцию, чтобы найти неизвестные коэффициенты a_i?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Какое условие накладывается на первые производные?

____________________________________________________________________________________________________________

5. Какое условие накладывается на вторые производные?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Как с помощью Mathcad можно решить полученную систему линейных уравнений?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Как определить какой из функций S_i необходимо пользоваться для вычисления значения функции в заданной точке?

____________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________

8. Как в Mathcad построить графики нескольких функций в одной системе координат?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. Как в Mathcad задать дискретный аргумент?

____________________________________________________________________________________________________________

10. Как в Mathcad нанаести линии сетки на график?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

11. Выпишите формулу для вычисления t в первом интерполяционном многочлене Ньютона.

____________________________________________________________________________________________________________

К работе допускается: ______________________________________________

4. Результаты работы

1) Кубический сплайн на ищем в виде:

i=1 S₁(x)=a₁+b₁(x-)+c₁(x-)²+d₁(x-)³

i=2 S₂(x)=a₂+b₂(x-)+c₂(x-)²+d₂(x-)³

i=3 S₃(x)=a₃+b₃(x-)+c₃(x-)²+d₃(x-)³

2) Найдём коэффициенты а_i:

i=1 S₁()= =a₁+b₁()+c₁()²+d₁()³=a₁, а₁=

i=2 S₂()= =a₂+b₂()+c₂()²+d₂()³=a₂, а₂=

i=3 S₃()= =a₃+b₃()+c₃()²+d₃()³=a₃, а₃=

3) подставим найденные значения а₁, а_2, а₃ в S₁(x), S₂(x), S₃(x).

i=1 S₁(x)= +b₁(x-)+c₁(x-)²+d₁(x-)³

i=2 S₂(x)= +b₂(x-)+c₂(x-)²+d₂(x-)³

i=3 S₃(x)= +b₃(x-)+c₃(x-)²+d₃(x-)³

3) Потребуем совпадения значений S_i(x) в узлах с табличными значениями f

i=1 S₁()= +b₁()+c₁()²+d₁()³ =

+ b₁+ c₁+ d₁=

b₁+ c₁+ d₁=

b₁+ c₁+ d₁= (1)

i=2 S₂()= +b₂()+c₂()²+d₂()³ =

+ b₂+ c₂+ d₂=

b₂+ c₂+ d₂=

b₂+ c₂+ d₂= (2)

i=3 S₃()= +b₃()+c₃()²+d₃()³ =

+ b₃+ c₃+ d₃=

b₃+ c₃+ d₃=

b₃+ c₃+ d₃= (3)

4) Продифференцируем сплайн-функцию

(x)= b₁ +2c₁(x)+3d₁(x)²

(x)=b₂+2c₂(x)+3d₂(x)²

(x)=b₃+2c₃(x)+3d₃(x)²

5) Приравняем производные и во внутренних узлах х_i.

b₁+2c₁()+3d₁()² = b₂+2c₂()+3d₂()²

b₁+ c₁+ d₁ = b₂+ c₂ + d₂

b₁+ c₁+ d₁ = b₂

b₁+ c₁+ d₁ - b₂=0 (4)

b₂+2c₂()+3d₂()² = b₃+2c₃()+3d₃()²

b₂+ c₂+ d₂ = b₃+ c₃ + d₃

b₂+ c₂+ d₂ = b₃

b₂+ c₂+ d₂ – b₃=0 (5)

6) Вычислим вторые производные сплайн-функции

(x)=2c₁+6d₁(x)

(x)=2c₂+6d₂(x)

(x)=2c₃+6d₃(x)

7) Приравняем производные , во внутренних узлах х_i.

2c₁+6d₁() = 2c₂+6d₂()

2c₁+ d₁= 2c₂+ d₂

2c₁+ d₁ – 2с₂=0 (6)

2c₂+6d₂() = 2c₃+6d₃()

2c₂+ d₂= 2c₃+ d₃

2c₂+ d₂ – 2с₃=0 (7)

8) Потребуем равенства нулю вторых производных на концах сплайна

()=2c₁+6d₁() = 0

с₁=0 (8)

()=2c₃+6d₃() = 0

2c₃+ d₃ =0 (9)

9) Перепишем уравнения (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9) и получим систему девяти уравнений с девятью неизвестными.

10) Решим эту систему

11) Запишем сплайн-функцию

i=1 S₁(x)= + (x-)+ (x-)²+ (x-)³

i=2 S₂(x)= + (x-)+ (x-)²+ (x-)³

i=3 S₃(x)= + (x-)+ (x-)²+ (x-)³

12) Вычислим значение функции

f()=

13) Выполним чертёж и убедимся, что найденная нами сплайн-функция действительно интерполирует заданную таблично функцию.

Вывод

В ходе выполнения данной работы ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6