Гипербола 3 страница

Кү нтізбелік-тақ ырыптық жоспар «Алгебра жә не геометрия» пә нінің жұ мыс оқ у бағ дарламасы негізінде қ ұ растырылды.

Хаттама №1 «26» тамыз 2011 жылғ ы кү нгі кафедра отырысында қ аралып бекітілді.

Дайындағ андар: ___________профессор Бердышев А.С.,

___________профессор Мансуров К.М.

___________оқ ытушы Ахтаева Н.С.

Ескерту: **Қ олданылатын ә дістер: презентация, сө з жарыс (дискуссия), пікір талас (диспут), дө ң гелек ү стел, іскер ойындар, ө ндірістік жағ дай (ситуация), дә стү рлі тә сіл жә не басқ алар.

Дә рістік кешен (дә ріс тезистері, иллюстрациялық жә не таратқ ыш материалдар, ұ сынылғ ан ә дебиеттер тізімі)

№1-4 дә ріс. Матрицалар жә не анық тауыштар. Матрицалар

Матрица деп, m- жол жә не n- бақ аннан тұ ратын сандар немесе ң ріптерден қ ұ рылқ ан тік бұ рышты кестені айтады.

Матрица латынның ү лкен ң ріптерімен белгіленеді A, B, C, … жә не былай жазылады:

немесе қ ысқ аша , мұ ндақ ы (яқ ни ) – жолдың нө мірі, (яқ ни ) – бақ анның нө мірі.

А матрицасын ө лшемді матрица дейді жә не оны деп жазады. Матрицаны қ ұ райтын сандарын сол матрицаның элементтері дейді. элементтері бас диагоналді қ ұ райды. - - ө лшемді матрица.

Бір жолдан тұ ратын матрицаны жол-матрица дейді. Бір бақ аннан тұ ратын матрицаны бақ ан-матрица дейді. Егер матрицаның жолдарының саны бақ андарының санына тең болса, ондай матрицаны квадрат матрица дейді. Оның ө лшемі болады.

Егер квадрат матрицаның бас диагональдан тыс элементтері нө лге тең болса, онда ондай матрицаны диагональ матрица дейді.

Егер диагональ матрицаның бас диагоналі бір сандарынан тұ рса, онда ондай матрицаны бірлік матрица дейді жә не оны Е деп белгілейді.

Егер квадрат матрицаның бас диагоналінң бір жақ ына орналасқ ан элементтері тү гелдей нө лге тең болса, онда оны ү шбұ рышты матрица дейді.

Егер матрицаның барлық элементтері нө лге тең болса, онда ондай матрицаны

нө лдік матрица дейді. Мысалы. а) квадрат; б) диагональ; в) бірлік; г) нө лдік матрицалар:

а) ; б) ; в) ; г) .

А матрицасының жолдарын сң йкес бақ андар етіп алмастырқ аннан пайда болқ ан матрицаны транспонирленген матрица деп атайды жә не оны деп белгілейді. Транспонирлеу амалының қ асиеттері:

1-мысал.

Матрицаларқ а амалдар қ олдану. Қ осу амалы амалы ө лшемдері бірдей матрицалар ү шін қ ана енгізіледі. Екі жә не матрицаларының қ осындысы деп, элементтері

болатын матрицасын айтады жә не оны деп белгілейді.

2-мысал. матрицасын санына кө бейту деп ң рбір элементі болатын матрицасын айтады.

3-мысал. -А=(-1)А матрицасын А матрицасына қ арама-қ арсы матрица деп атайды. Олай болса, матрицалардың айырымын былай анық тауқ а болады:

Матрицаларды қ осу жә не матрицаны санқ а кө бейту амалдарының қ асиеттері:

мұ ндақ ы матрицалар, жә не - сандар.

Екі матрицаны кө бейту амалы бірінші матрицаның бақ андарының саны екінші матрицаның жолдарының санына тең болқ анда қ ана енгізіледі. матрицасының матрицасына кө бейтіндісі деп элементтері

, ,

болатын матрицасын айтады. Схемалық тү рде былай кө рсетуге болады:

4-мысал. ,

, осыдан

Егер болса, онда А жә не В матрицалары алмастырылатын матрицалар деп аталады.

Матрицаларды кө бейту амалының қ асиеттері:

Анық тауыштар. Анық тауыш сатылы тү рде анық талады.

1) Кезкелген сан бірінші ретті анық тауыш.

2) Ө лшемділігі 2-ге тең квадрат матрица ү шін саны (мұ ндақ ы - нақ ты сандар) А матрицасының анық тауышы немесе 2-ші ретті анық тауыш деп аталады жә не ол , , , деп белгіленеді. Сонымен

5-мысал.

3) - 3-ші ретті матрица болсын.

А матрицасының анық тауышы немесе 3-ші ретті анық тауышы деп, тө менгі формуламен есептелінетін санды айтады:

.

Бұ л формуланы жең іл есте сақ тау ү шін алқ ашқ ы оң таң балы ү ш қ осылқ ышты схемасы бойынша, ал қ алқ ан ү ш теріс таң балы қ осылқ ыштарды схемасы бойынша есептелетіндігін ескеру қ ажет.

4) квадрат матрицасының элементінң миноры деп, осы элемент орналасқ ан жол мен бақ анды сызып тастақ аннан шық атын 3-ші ретті анық тауышты айтады жә не оны деп белгілейді. Ал саны элементінң алгебралық толық тауышы деп аталады. Онда саны 4-ші ретті анық тауыш деп аталады жә не ол тү рінде белгіленеді. Дң л осылай 5-ретті анық тауыш анық талады:

(1.1)

Осылайша кезкелген -ші ретті анық тауышты -ші ретті анық тауыштар арқ ылы анық таймыз.

(1.1) формуласы анық тауышты кез келген жолдың элементтері арқ ылы жіктеу деп аталады.

6-мысал.

Анық тауыштың қ асиеттері:

1. Анық тауыштың жолдарын сң йкес бақ андармен алмастырқ аннан анық тауыштың мң ні ө згермейді.

2. Егер анық тауыштың қ андай да бір жолы (бақ аны) тек нө лден тұ рса, онда анық тауыш нө лге тең.

3.Егер анық тауыштың екі жолы (бақ аны) пропорционал болса, онда анық тауыш нө лге тең.

4. Жолдың (бақ анның) ортақ кө бейткішін анық тауыштың алдына шық арып жазуқ а болады.

5.Егер анық тауыштың екі жолын (бақ анын) алмастырса, онда анық тауыштың таң басы ө згереді.

6. Егер қ андай да бір жолдың (бақ анның) элементтеріне кез келген санқ а кө бейтілген басқ а жолдың сң йкес элементтерін қ осқ аннан анық тауыш ө згермейді.

Ң дебиеттер: 1 нег.[5-20], 11 қ ос. [92-115]

Бақ ылау сұ рақ тар:

1. Екінші ретті анық тауыш деген не? 4-ретті анық тауыш деген не? Анық тауыштардың

негізгі қ асиеттерін атаң ыз.

2. Матрицаның анық тауыштан айырмашылық ы неде? Матрицаларқ а қ олданылатын амалдарды атаң ыз.

3. Екі матрицаны кө бейту қ ай кезде орындалады?

№5-8-дә ріс. Сызық тық алгебралық тең деулер жү йесі. Матрицаның рангі

А матрицасының рангі деп осы матрицаның нө лге тең емес минорларының ең ү лкен ретін айтады жә не оны , немесе деп белгілейді. болады, мұ ндақ ы - m жә не n сандарының кішісі.

1-мысал. матрицасының рангін табың ыз.

1-ә діс. Минорлар ә дісі. Бұ л матрицаның рангі 3-тен аспайды. Сондық тан 3-ші ретті минорлар қ ұ рамыз. Егер 3-ші ретті минорлардың ішінде бір нө лге тең емес минор табылса, онда ранг 3-ке тең болады. Ал 3-ші ретті минорлардың бң рі нө лге тең болса, онда минор 2-ге не 1-ге тең болады. Оны білу ү шін тақ ы 2-ші ретті минорлар қ ұ рамыз. Олардың ішінде бір нө лге тең емес минор табылса, онда ранг 2-ге тең болады. Ал 2-ші ретті минорлардың бң рі нө лге тең болса, минор 1-ге тең.

, , 3-ші ретті минорлардың бң рі нө лге тең. Олай болса, 2-ші ретті минорлар қ ұ рамыз: . Демек ранг 2-ге тең, яқ ни

2-ә діс. Элементар тү рлендіру ә дісі. Матрицаны элементар тү рлендіру деп:

1. матрицаның екі жолын (бақ анын) ауыстыру;

2. матрицаның жолын (бақ анын) нө лге тең емес санқ а кө бейту;

3. бір жол (бақ ан) элементтеріне басқ а жолдың (бақ анның) сң йкес қ андай да бір санқ а кө бейтілген элементтерін қ осу амалдарын айтады.

Элементар тү рлендіру арқ ылы алынқ ан матрицаны бастапқ ы матрицақ а эквивалентті матрица дейді жә не орталарына ~ белгісі қ ойылады. Матрицаның рангін табу ү шін элементар тү рлендіруді пайдаланып, матрицаны сатылы тү рге келтіреміз.

Теорема. Матрицаны элементар тү рлендіргеннен оның рангі ө згермейді.

2-мысал. ~ ~ . Демек ранг 2-ге тең, яқ ни .

Кері матрица. Егер шарты орындалса, онда матрицасын матрицасына кері матрица дейді жә не оны тү рінде белгілейді. Мұ ндақ ы , , матрицалары бірдей ө лшемді квадрат матрицалар.

Ескерту: Егер матрицасы бар болса, онда ол жалқ ыз болады.

Теорема. Квадрат А матрицасына кері матрица табылуы ү шін болуы қ ажетті жә не жеткілікті. болқ анда кері матрица былайша есептелінеді .

Мұ ндақ ы алгебралық толық тауыштардан тү зілген матрица.

3-мысал. матрицасына кері матрица табың ыз. .

Олай болса,

, , , , , , , ,

Сонда кері матрица былай болады: = .

Сызық тық алгебралық тең деулер жү йесі. n белгісізі бар m тең деулер жү йесі былай жазылады:

мұ ндақ ы жү йенң коэффициенттері, ал - бос мү шелер деп аталады. жү йені матрицалық тү рде былай жазуқ а болады немесе

, мұ ндақ ы А= жү йе матрицасы

A X B

деп аталады.

Егер сандар жиыны тең деулер жү йесін тепе-теә дікке айналдырса, онда бұ л сандар жиыны осы жү йенң шешімі деп аталады.

Егер тең деулер жү йесінң кемінде бір шешімі бар болса, онда жү йе ү йлесімді деп аталады, ал жү йенң бір де шешімі болмаса, онда жү йе ү йлесімсіз деп аталады.

Егер А матрицасын бос мү шелерден тұ ратын бақ анмен толық тырса, онда пайда болқ ан матрицаны кең ейтілген матрица дейді жә не оны деп белгілейді. Сонымен

Сызық тық тең деулер жү йесін шешу тң сілдері.

1. Крамер ережесі. n белгісізі бар n тең деулер жү йесі берілсін

Мұ ндай жү йенң А матрицасы квадрат матрица болады.

Теорема. Егер жү йесі ү шін болса, онда жү йенң жалқ ыз шешімі былайша табылады:

мұ нда - анық тауышындақ ы белгісіздерінң коэффициеттерін бос мү шелермен алмастырқ аннан пайда болқ ан анық тауыш. Крамер формуласы деп аталады.

4-мысал. жү йесін Крамер ережесімен шешу керек.

, , , Жауабы:

2. Матрицалық ә діс. n белгісізі бар n тең деулер жү йесі, яқ ни жү йе берілсін. Жү йені матрицалық тү рде былай жазамыз

Теорема. Егер болса, онда жү йесінң теә дігімен анық талатын жалқ ыз шешімі бар.

5мысал. жү йесін матрицалық ә діспен шешу керек.

, ,

, , Жауабы:

3. Гаусс ә дісі. n белгісізі бар m тең деулер жү йесі, яқ ни берілсін. Жү йені Гаусс ә дісімен шешу екі кезең нен тұ рады. Бірінші кезең де (тік жү ріс) жү йе трапеция тң різдес тү рге келтіріледі.

– трапеция тң різдес жү йе.

Мұ нда коэффициенттері жү йенң негізгі элементтері деп аталады.