Б) Кронекер-Капелли теоремасы бойынша

Шешімі:

Берілген ү ш белгісізі бар ү ш тең деуден тұ ратын жү йені қ арастырайық

, мұ нда

жү йенң матрицалық формасы.

Жү йенң ү йлесімділікке тексеру

а) Гаусс ә дісімен

кең ейтілген матрица

3-ші ретті анық тауыш нө лден ө згеше демек жү йе ү йлесімді. Жү йенң тек бір қ ана шешімі бар.

б) Кронекер-Капелли теоремасы бойынша.

см. п.(а)

минорды кө мкеру ә дісі бойынша

жү йе ү йлесімді жә не бір қ ана шешімі бар.

2. Сызық ты тең деулер жү йесін

а) Гаусс ә дісімен

б) Крамер ә дісімен

в) матрицалық ә діспен шешу.

Шешімі:

а) Гаусс ә дісімен

Жү йенң кең ейтілген матрицасын тү рлендіріп,

аламыз, яқ ни

б) Крамер ә дісімен

жауабы

в) матрицалық ә діспен

А матрицасы

3. Ү Ж: [14], №№3.188, 3.194, 3.209, 3.224.

4. Тексеру сұ рақ тары:

1.Крамер ережесі қ андай тең деулер жү йесіне қ олданылады?

2. Анық тауышы нө лге тең квадрат сызық ты тең деулер жү йесіне қ ай ә діс қ олданылады?

№ 7-8 жаттығ у сабағ ы. Векторлық алгебра. Вектор ұ ғ ымы, оларғ а қ олданылатын сызық тық амалдар, векторлар жү йесінің сызық ты тә уелділігі жә не тә уелсіздігі.

А.Ж: [11], №№2.1, 2.8, 2.20, 2.24, 2.27, 2.29, 2.32, 2.36, 2.44, 2.50, 2.56, 2.59, 2.63, 2.76, 2.80, 2.92, 2.97, 2.99, 2.104, 2.106.

Есептердң шешу ү лгілері:

1. а) нү ктесі радиус-векторының

б) егер болса, векторының

ұ зындық тары мен бақ ыттаушы косинустарын анық тау.

Шешімі:

а)

б)

2. векторлары берілген.

Табу керек: а) векторын

б) модулін

Шешімі:

а) векторларқ а сызық тық амалдардың қ асиеті бойынша .

б) вектордың ұ зындық ы формуласы бойынша

3. векторлары базис қ ұ райтынын тексер жә не векторының осы базистегі координаталарын есепте, егер болса.

Шешімі:

Егер ү ш вектор базис қ ұ райтын болса, онда олар сызық ты тң уелсіз векторлар жү йесін қ ұ райды, яқ ни тек қ ана шарты орындалқ анда қ ана теә дігіорындалады. Бұ л шарттың орындалуын тексеру ү шін векторларының координаталары ү шін мына шарттың орындалуын тексерген жеткілікті

.

, демек векторлары базис қ ұ райды. Олай болса кең істіктң кез-келген векторын осы базисте жіктеуге болады, ал векторы ү шін мына теә дік орынды .

векторларының X, Y, Z –тң -ң x, y, z-не тең естіріп табамыз.

векторының векторлары базисінде жіктелуі .

№ 9-10 жаттығ у сабағ ы. Ү ш ө лшемді кең істіктегі скаляр жә не векторлық кө бейтінді, олардың қ асиеттері.

А.Ж: [11], №№2.1, 2.8, 2.20, 2.24, 2.27, 2.29, 2.32, 2.36, 2.44, 2.50, 2.56, 2.59, 2.63, 2.76, 2.80, 2.92, 2.97, 2.99, 2.104, 2.106.

Есептердң шешу ү лгілері:

1. ден нү ктесіне дейін қ озқ алқ ан кү шінң жұ мысын табу керек.

Шешімі:

Жұ мысты пен векторларының скаляр кө бейтіндісі арқ ылы табуқ а болады, мұ ндақ ы , яқ ни . Сонда

болқ андық тан, ізделінді жұ мыс .

2. векторлары берілген.

Табу керек: а) жә не векторларының скаляр кө бейтіндісін

б) жә не векторларының арасындақ ы бұ рыштың косинусын

Шешімі:

а) ө з координаттарымен берілген векторлардың скаляр кө бейтіндісі анық тамасы бойынша

б) вектордың ұ зындық ы формуласы бойынша болқ андық тан, скаляр кө бейтінді формуласы пайдаланып,

табамыз.

3. векторларының скаляр кө бейтіндісін табу керек, егер болса.

Шешімі:

скаляр кө бейтінді қ асиетін пайдаланып,

табылады.

4. векторларының векторлық кө бейтіндісін табу

Шешімі:

Векторлық кө бейтіндінң анық тамасына сң йкес

болқ андық тан, болады.

5. Тө белері болатын ү шбұ рыштың ауданын табу.

Шешімі:

Ү шбұ рыштың ауданы жә не векторлары арқ ылы қ ұ рылқ ан параллелограмм ауданының жартысына тең. жә не векторларының координаталары , болқ андық тан, олардың векторлық кө бейтіндісі

, ал векторлық кө бейтіндінң қ асиеті бойынша жә не векторларының векторлық кө бейтіндісінң модулі жә не векторлары арқ ылы қ ұ рылқ ан параллелограмм ауданына тең болқ андық тан, болады, ал ү шбұ рыш ауданы кв. бірлік болады.

№ 11-12 жаттығ у сабағ ы. Ү ш вектордың аралас кө бейтіндісі жә не оның қ асиеттері.

А.Ж: [11], №№2.1, 2.8, 2.20, 2.24, 2.27, 2.29, 2.32, 2.36, 2.44, 2.50, 2.56, 2.59, 2.63, 2.76, 2.80, 2.92, 2.97, 2.99, 2.104, 2.106.

Есептердң шешу ү лгілері:

векторы , векторларына перпендикуляр, ал , векторларының арасындақ ы бұ рыш . . Ү ш вектордың аралас кө бейтіндісін табу керек.

Шешімі: Аралас кө бейтіндінң анық тамасы бойынша

. Ал

Ал скаляр кө бейтіндінң анық тамасын пайдаланып,

2. векторларының компланар екенін кө рсету.

Шешімі: , жә не компланар векторларының қ асиеті бойынша, векторлардың араласкө бейтіндісі0-ге тең болады, сондық тан , жә не векторларының аралас кө бейтіндісін табамыз

демек , жә не векторлары компланар болады

3. тө белерімен берілген тетраэдрдң кө лемін есептеу

Шешімі:

3.Ү.Ж.: [14], №№2.2, 2.6, 2.22, 2.23, 2.25, 2.28, 2.30, 2.33, 2.35, 2.45, 2.51, 2.55, 2.58, 2.62, 2.77, 2.81, 2.93, 2.98, 2.103, 2.107.

4. Тексеру сұ рақ тары

1. Вектор деген не? Вектор модулінң анық тамасын берң із.

2. Скаляр кө бейтіндінң векторлардың векторлық кө бейтіндісінен айырмашылық ы неде? Скаляр жә не векторлық кө бейтінділердң негізгі қ асиеттерін атап шық.

3. Скаляр кө бейтіндінң механикалық мақ ынасы нені білдіреді?

4. Аралас кө бейтінді дегеніміз не?

5. Аралас кө бейтіндінң геометриялық мақ ынасы нені білдіреді?

6. Екі вектордың коллинеарлық шартын келтір.

№ 13-14 жаттығ у сабағ ы. Матрицалық талдау

АЗ: [14], №№ 4.1., 4.15, 4.45, 4.51, 4.55, 4.57, 4.58, 4.68, 4.78, 4.83, 4.97, 4.129, 4.134, 4.151, 4.153, 4.172, 4.192, 4.210, 4.218.

Есептердң шешу ү лгілері:

1. векторлардан туратын базисінде геометриялық вектордың координаталарын тап.

Шешімі. базисіндегі векторлардың координаталарын жазып алайық:

Осыдан ө ту матрицасы мына тү рге келеді

тү рге келтіріп жә не мына формуланы қ олданып

Таптық

2. евклид кең істігінде векторлар жү йесіне ортогональдау процесін қ олдану:

Шешмі. деп алып. векторын мына тү рде іздейміз . болқ андық тан, онда .

Демек, . векторын мына сызық ты комбинация тү рде табамыз: .

Скаляр кө бейтіндісін есептеп Коэффициенттердң мң ндерін табамыз , .

Демек,

3. жазық тық ында базисінде проектілеу операторының матрицасын жазу керек.

Шешуі. жазық тық ында проектілеу операторы мына тең деумен анық талады , мұ ндақ ы - векторының жазық тық ындақ ы ортогональ проекциясы. Бұ дан

,

мұ ндақ ы - жазық тық ының нормаль векторы. Қ арастырылқ ан жақ дайда жә не демек,

бұ дан

4.

Шешуі.Сондық тан

жә не онда

ары қ арай

Сондық тан

канондық базисінде сызық ты оператордың матрицасының анық тамасы бойынша, оның бақ андары мына тү рде болады

бү дан табатынымыз:

5. - белгіленген вектор.

Шешуі. болсын. Онда базисінде сызық ты оператордың матрицасы мына тү рде болады

базисінен базисіне ө ткендегі матрицаны былай табамыз

.

болқ андық тан, мына формуланы қ олданып

болатынын табамыз.

6. .

Шешуі. Арифметикалық векторлар мен берілген сызық ты операторларды канондық базисінде қ олданамыз. Бұ л базисте опрератор матрицасы келесі тү рде болады

.

анық тамасы бойынша сонда жә не тек қ ана сонда болатындай векторы табылады немесе координаталық жазылуы:

. (2)

(1) тең деу - матрицасының бақ андар жү йесінң сызық тық комбинациясымен сң йкес келеді. Демек, операторының рангісі матрицаның рангісімен сң кес келеді, яқ ни екіге тең, базисі кез келген бақ андар жү йесінң базистерінен таң далқ ан, мысалы

, .

Сол сияқ ты, сонда тек сонда қ ана егер немесе координаттық жазылуы:

. (2)

Бұ дан шық атыны, ядросы (2) біртекті жү йесінң шешімімен сң йкес келеді, яқ ни операторының дефекті , ал базисінде (2) тең деулер жү йесінң фундаментальды шешімі таң далуы мү мкін, мысалы

.

№ 15-18 жаттығ у сабағ ы.

1. Лагранж ә дісі бойынша квадраттық форманы канондық тү рге келтіру

.

◄ 1-ші тү рлендіру: Онда аламыз.

2-ші тү рлендіру: . Квадраттық форма ү шін жаң а ө рнек аламыз:

.

3- ші тү рлендіру: жә не форма канондық тү рге келеді:

.

Мұ ндақ ы,

. ►

2. евклид кең істігінде квадраттық форманы канондық тү рге келтіретін ортогональ тү рлендіруді тап.

◄ Квадраттық форманың матрицасы

.

Осы мартрицаның меншікті мң ндері . Сң кесінше, ортонормоланқ ан меншікті векторлары:

,

,

,

демек,

, .

базисінде берілген квадраттық форма ,

,

,

. ►

1. Ү Ж: [14], 4.2, 4.16, 4.46, 4.52, 4.56, 4.59, 4.69, 4.79, 4.84, 4.98, 4.130, 4.135, 4.152, 4.154, 4.173, 4.193, 4.211, 4.218.
2. Бақ ылау жұ мысы

1. Кең істік тү рлендіруі дегеніміз не?

2. Матрицалары белгілі, екі сызық ты тү рлендірудң кө бейтіндісінен тұ ратын матрицаның сызық ты тү рлендіруін қ алай табуқ а болады?

3. Сызық тық тү рлендірудң меншікті мң ндері жә не меншікті векторлары дегеніміз не? Оларды қ алай табуқ а болады?

4. Квадраттық форма жә не оның матрицасы деп нені айтамыз? Қ андай жақ дайда квадраттық форма канондық тү рде болады?

5. Квадраттық форма теориясы екінші ретті сызық тардың тең деуін канондық тү рге қ алай келтіреді?

№ 19-26 жаттығ у сабағ ы. Сызық ты геометриялық объектілер

А.З,: [14], №№. 2.141, 2.143, 2.145, 2.147, 2.153, 2.155, 2.180, 2.198.

Есептердң шешу ү лгілері

1. Жазық тық та ү ш нү кте берілген.

А=(1; 2), В=(3; 3), С=(-2; -3).

АВС ү шбұ рышының ауданын табың ыз.

Шешімі:

2. тү зуі мен нү ктесі берілген. Нү ктеден тү зуге дейінгі арақ ашық тық ты табың ыз:

Шешуі:

Жауабы:

3. Берілген: мына жазық тық ты келесі жазық тық тың тең деуіне келтір:

а) остегі кесінділер тең деуіне

б) жазқ тық тың нормаль тең деуі

в) бұ рыштық коэффициенті бар жазық тық тың тең деуі

г) жазық тық тың параметрлік тең деуі

д) жазық тық тың векторлық тең деуі

Шешімі:

а) жазық тық тың жалы тең деуін бос мү шеге бө леміз.

остегі кесінділер тең деуін таптық

б) жазық тық тң нормаль векторының ұ зындық ын есетейік, ұ зындық = = =

Жазық тық тың жалпы тең деуін мына санқ а бө леміз .

;

;

жазық тық тың нормаль тең деуін таптық

в) -ті жә не бойынша ө рнектейік.

бұ рыштық коэффициенті бар тең деуді таптық

г) Келесі тең деуді жазайық

жә не параметрлерін таптық

онда тең деуді келесі тү рде жазамыз

, мұ ндақ ы , - нақ ты параметрлар

жазық тық тың параметрлік тең деуі

д) параметрлік тең деуді векторлық тү рде жазамыз.

жазық тық тың векторлық тең деуін таптық.

4 Кең істікте тү зулер жұ бы берілген. Тү зулердң ө зара орналасуын анық тау керек.

Беттеседі ме;

Қ иылысады ма, егер қ иылысса қ иылысу нү ктесі мен арасындақ ы бұ рышын табу керек