Гипербола 5 страница

Ң дебиеттер: 1 нег. [45-65 беттер, 11 қ ос. [136-156].

Бақ ылау сұ рақ тар:

1. Вектор деген не? Векторларқ а қ андай амалдар қ олданылады?

2. Вектордың ү зындық ын қ ай формуламен есептейді?

3. Кесіндінң қ ақ ортасын табу формуласын кө рсетң із.

4. Скаляр кө бейтіндінң анық тамасын берң із.

5. Скаляр кө бейтіндінң механикалық мақ ынасын тү сіндірң із.

№4-дә ріс. Векторлық жә не аралас кө бейтінділер. Векторлардың векторлық кө бейтіндісі

Ү ш компланар емес векторлары берілсін. Егер векторының ұ шынан қ арақ анда дан қ а дейінгі ең қ ысқ а бұ рылыс сақ ат тіліне қ арсы бақ ытта орындалса, онда векторлары оң ү штік, ал дан қ а дейінгі ең қ ысқ а бұ рылыс сақ ат тілімен бақ ыттас болса, онда сол ү штік қ ұ райды дейді.

Анық тама. жә не векторларының векторлық кө бейтіндісі деп, келесі ү ш шартты қ анақ аттандыратын векторын айтады:

1) ;

2) векторының ұ зындық ы жә не векторларына тұ рқ ызылқ ан параллелограммның ауданына тең, яқ ни , мұ ндақ ы ;

3) векторлары оң ү штік қ ұ райды.

Векторлық кө бейтінді немесе деп белгіленеді.

Векторлық кө бейтіндінң анық тамасынан , , болады

Векторлық кө бейтіндінң қ асиеттері:

1. ;

2. ;

3. Нө лдік емес жә не векторлары жақ дайда қ ана колинеар;

4. .

Теорема. Егер базисінде векторлары берілсе, онда .

1-мысал. векторларының векторлық кө бейтіндісін табу керек.

Векторлық кө бейтіндінң қ олданылуы

Анық тама. , , векторларының аралас кө бейтіндісі деп, жә не векторларының векторлық кө бейтіндісі мен векторының скаляр кө бейтіндісін айтады.

Аралас кө бейтінді не немесе тү рінде жазылады. Аралас кө бейтіндінң нң тижесі санқ а тең.

Аралас кө бейтіндінң қ асиеттері:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Егер векторлар , , компланар болса, онда .

Теорема. базисінде , , векторлары берілсін, онда олардың аралас кө бейтіндіні анық тауыш тү рінде жазуқ а болады.

Аралас кө бейтіндінң қ олданылуы

1. Егер болса, онда , , -оң ү штік; егер болса, онда , , - сол ү штік қ ұ райды.
2. , , векторлары компланар.
3. , .

Жазық тық тағ ы тү зудің тең деулері

1. Берілген нү ктеден берілген векторқ а перпендикуляр ө тетін тү зудң тең деуі

Тү зудң бойында жатқ ан нү ктесі жә не оқ ан перпендикуляр векторы берілген. Тү зудң бойынан кез келген нү ктесін аламыз. Сонда болады. векторы тү зудң бойында жатқ андық тан болады. Сондық тан олардың скалярлық кө бейтіндісі , яқ ни

(4.1)

Бұ дан векторы тү зуге перпендикуляр екендігі шық ады. Тү зуге перпендикуляр кез келген вектор тү зудң нормалы немесе нормалдық векторы деп аталады.

2. Тү зудң жалпы тең деуі

(4.1) тең деуінде жақ шаларды ашып, деп белгілесек, тү зудң жалпы тең деуі шық ады

(4.2)

Егер А=0 болса, онда тү зу Ох ө сіне параллель ө теді; егер В=0 болса, онда тү зу Оу ө сіне параллель ө теді; егер С=0 болса, онда тү зу жү йенң бас нү ктесі арқ ылы ө теді.

3. Тү зудң бұ рыштық коэффициент арқ ылы берілген тең деуі. Егер болса, онда (4.2) тең деуінен ():

(4.3)

4. Екі нү кте арқ ылы ө тетін тү зудң тең деуі. Тү зу жә не нү ктелерінен ө тсін. Тү зудң бойынан кез келген нү ктесін аламыз. Сонда бұ л тү зудң тең деуі тө мендегідей болады:

(4.4)

5. Тү зудң кесінділік тең деуі

Тү зу жә не нү ктелері арқ ылы ө тсін. Сонда (4.4) формуласынан тү зудң кесінділік тең деуін аламыз:

(4.5)

6. Берілген нү ктеден ө тетін тү зудң тең деуі

(4.6)

7. Екі тү зудң арасындақ ы бұ рыш. жә не тү зулерінң арасындақ ы бұ рыштың формуласы:

(4.7)

Осыдан егер тү зулер параллель болса, онда , ал тү зулер перпендикуляр болса, онда болады. Тү зулер жә не тең деулерімен берілсе, онда , болқ андық тан тү зулердң арасындақ ы бұ рыш осы екі нормальдң арасындақ ы бұ рышқ а тең:

(4.8)

Осыдан егер тү зулер параллель болса, онда , ал перпендикуляр болса, онда болады.

8. Нү ктеден тү зуге дейінгі қ ашық тық. нү ктесінен тү зуіне дейінгі қ ашық тық тың формуласы:

(4.9)

2-мысал. нұ ктесінен тұ зуіне дейінгі қ ашық тық ты табу керек.

Ң дебиеттер: 1 нег.[65-84], 11 қ ос. [156-167], [31-41].

Бақ ылау сұ рақ тар:

1. Скаляр кө бейтіндінң векторлық кө бейтіндіден айырмашылық ы неде?

2. Аралас кө бейтінді дегеніміз не?

3. Векторлық жә не аралас кө бейтінділердң геометриялық мақ ынасын тү сіндірң із.

4. Жазық тық тақ ы тү зудң тең деуіндегі бұ рыштық коэффициенттң геометриялық мақ ынасы қ андай?

5. Жазық тық тақ ы екі тү зудң параллельдік жә не перпендикулярлық шарттарын айтың ыз.

№5-дә ріс. Кең істіктегі жазық тық пен тү зулер. Жазық тық тың тең деуі

1. Берілген нү кте арқ ылы, берілген векторқ а перпендикуляр ө тетін жазық тық тың тең деуі

Жазық тық та нү ктесі жә не оқ ан перпендикуляр векторы берілсін. Сонда берілген нү кте арқ ылы, берілген векторқ а перпендикуляр ө тетін жазық тық тың тең деуі тө менгідей болады:

(5.1)

2. Жазық тық тың жалпы тең деуі

(5.2)

Егер D=0 болса, онда жазық тық бас нү кте арқ ылы ө теді; егер C=0 онда, жазық тық Oz ө сіне параллель ө теді; егер C=D=0 болса, онда жазық тық бас нү кте арқ ылы Oz ө сіне параллель ө теді; егер A=B=D=0 болса, онда z=0 болады. Бұ л Oxy жазық тық ы.

3. Ү ш нү кте арқ ылы ө тетін жазық тық тың тең деуі. , жә не нү ктелері арқ ылы ө тетін жазық тық тың тең деуі:

(5.3)

4. Жазық тық тың кесінділік тең деуі

(5.4)

5. Екі жазық тық тың арасындақ ы бұ рыш. Жазық тық тар жә не тең деулерімен берілсе, онда , болқ андық тан жазық тық тардың арасындақ ы бұ рыш осы екі нормальдң арасындақ ы бұ рышқ а тең:

(5.5)

Осыдан егер жазық тық тар параллель болса, онда , ал перпендикуляр болса, онда болады.

6. Нү ктеден тү зуге дейінгі қ ашық тық

нү ктесінен тү зуіне дейінгі қ ашық тық тың формуласы:

(5.6)

Кең істіктегі тү зудң тең деулері

1. Екі нү кте арқ ылы ө тетін тү зудң тең деуі. Тү зу жә не нү ктелерінен ө тсе, онда оның тең деуі:

(5.7)

2. Тү зудң канондық тең деуі

нү ктесі тү зудң бойында жатсын жә не ол тү зу векторына параллель болсын. Тү зудң бойынан кез келген нү ктесін аламыз. Сонда, . векторы тү зудң бойында жатқ андық тан || болады. Сондық тан тү зудң канондық тең деуі:

(5.8)

Мұ ндақ ы - бақ ыттаушы вектор деп аталады.

3. Тү зудң параметрлік тең деуі. (5.7) тең деуіндегі ң р теә дікті қ а тең еп, мына тең деуді аламыз:

(5.9)

4. Тү зудң жалпы тең деуі. Ө зара параллель емес екі жазық тық жалпы тең деулерімен берілсін:

, (5.10)

Сонда бұ л жазық тық тар бір тү зудң бойымен қ иылысады. Ендеше осы екі жазық тық тың қ иылысқ ан тү зуінң бойындақ ы кез келген нү ктенң координаттары екі жазық тық тың да тең деуін қ анақ аттандырады. Сондық тан осы екі тең деулер жү йесін тү зудң жалпы тең деуі дейді.

5. Екі тү зудң арасындақ ы бұ рыш. Екі тү зу канондық тең деулерімен берілсін:

жә не Екі тү зудң арасындақ ы бұ рыш, сол тү зулердң бақ ыттаушы векторларының арасындақ ы бұ рышқ а тең (, ):

(5.10)

Егер тү зулер ө зара параллель болса, онда || болады. Тү зулердң параллелдік шарты:

, егер тү зулер ө зара перпендикуляр болса, онда болады. Тү зулердң перпендикулярлық шарты: болады.

Тү зу мен жазық тық. Жалпы тең деуімен берілген жазық тық пен канондық тең деуімен тү зудң арасындақ ы бұ рышты табу керек.

Тү зу мен жазық тық тың арасындақ ы бұ рыш деп, осы тү зу мен оның жазық тық қ а тү сірілген проекциясының арасындақ ы сыбайлас бұ рыштың біреуін айтады. Тү зу мен жазық тық тың арасындақ ы бұ рыштың синусы мына формуламен есептелінеді:

(5.11)

Тү зу мен жазық тық тың параллелдік белгісі: . Тү зу мен жазық тық тың перпендикулярлық белгісі:

1-мысал. тү зуі мен жазық тық ының арасындақ ы бұ рыштың синусы мен қ иылысу нү ктесін табу керек. , ал болқ андық тан . Қ иылысу нү ктесін табу ү шін тү зу мен жазық тық тың тең деулер жү йесін шешеміз. Сонда . Осыдан , яқ ни .

Ң дебиеттер: 1 нег.[73-100], 11 қ ос. [181-198].

Бақ ылау сұ рақ тар:

1. Жазық тық тың жалпы тең деуін кө рсетң із.

2. Жазық тық тың жалпы тең деуіндегі коэффициенттері нені білдіреді?

3. Тү зудң канондық тең деуіндегі нені білдіреді?

4. Тү зу мен жазық тық тың арасындақ ы бұ рышты қ алай анық тайды?

5. Тү зу мен жазық тық тың қ иылысу нү ктесін қ алай анық тайды?

№6-дә ріс. Екінші ретті қ исық тар мен беттер. Екінші ретті қ исық тар

1. Шең бер

Анық тама. Центр деп аталатын берілген нү ктеден бірдей қ ашық тық та жататын жазық тық тақ ы нү ктелердң геометриялық орындарын шең бер деп атайды.