Некоторые регрессионные модели.

№	Вид модели	Уравнение модели	Система нормальных уравнений Гаусса
1.	Линейная
2.	Параболическая
3.	Кубическая
4.	Гиперболическая
5.	Показательная
6.	Степенная
7.	Логарифмическая

При проверке регрессионных моделей целесообразно найти значения их параметров, рассчитать величины и в качестве аналитической функции, описывающей зависимость, использовать ту, для которой минимально.

Рассмотрим пример. Пусть имеется три наблюдения зависимости значения от значения : , , . Требуется аппроксимировать данную зависимость линейной моделью , определив коэффициенты и , и параболической моделью , определив коэффициенты , и с помощью метода наименьших квадратов.

Решение. По исходным данным .

Проведем промежуточные вычисления для линейной модели:

; ; ; .

В результате откуда ; ; ; .

Получаем линейную модель: .

Рассчитаем сумму квадратов отклонений для линейной модели:

; ; ;

.

Проведем промежуточные вычисления для параболической модели:

; ; ; ; ; ; .

В результате получим сиситему уравнений

Решим полученную систему уравнений методом Гаусса. Далее представлен результат выполнения следующих действий:

1. Вычтем из второго уравнения первое.

2. Вычтем из третьего уравнения первое, домноженное на .

3. Вычтем из третьего уравнения второе, домноженное на 2.

4. Подставим значение , полученное из третьего уравнения, во второе и первое уравнения.

5. Подставим значение , полученное из второго уравнения, в первое.

Получим решение системы уравнений: , , .

Получаем параболическую модель: .

Рассчитаем сумму квадратов отклонений для параболической модели:

; ; ;

.

Сравним модели. Сравнив суммы квадратов отклонений полученных моделей, можно сделать вывод, что параболическая модель является лучшим результатом аппроксимации функции, чем линейная. Заметим, что в данном примере полученная парабола проходит через все точки аппроксимируемой зависимости, однако в более сложных примерах такое совпадение наблюдается крайне редко. Также следует отметить, что совпадение уравнений парабол, полученных в результате аппроксимации зависимости и ее интерполяции прямым методом (разд. 3.2.1) и полиномом Лагранжа (разд. 3.2.2) обусловлено простотой исходных данных задачи. В общем случае совпадение результатов применения трех данных методов не только не обязательно но и крайне маловероятно.

Рассмотрим пример. По данным, приведенным в таблице, требуется провести регрессионный анализ, используя следующие модели: линейную, параболическую, кубическую, гиперболическую, показательную, степенную, логарифмическую. Определить, какая из моделей точнее описывает зависимость между прибылью предприятия и его премиальным фондом. Наилучшую зависимость представить на графике, отобразив на нем исходные данные.