Прямой метод

Пусть на интерполяционной сетке заданы значения некоторой функции: . Требуется построить полином степени не выше , такой чтобы выполнялись условия, позволяющие однозначно определить значения его коэффициентов:

(3.11)

Геометрически процесс замены таблично заданной функции интерполянтом заключается в проведении графика функции через все узловые точки функции (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Интерполирование функции .

На рис. 3.1 помимо графика интерполянта представлен график функции , также проведенный через все узловые точки , , функции , но, очевидно, являющийся неудачным результатом ее интерполяции.

Если не указан класс функции (не описаны ее свойства), то задача интерполирования не является корректной, так как отсутствие информации о характере поведения функции между узлами может привести к непредсказуемым погрешностям при построении интерполянта . На ЭВМ в качестве интерполянтов обычно используются полиномы степени не выше . В этом случае система уравнений (3.11) превращается в систему уравнений для неизвестных коэффициентов :

(3.12)

Система (3.12) состоит из уравнения и неизвестного и имеет единственное решение, которым являются значения коэффициентов интерполянта .

Единственность решения доказывается тем, что определитель данной системы, так называемый определитель Вандермонда, отличен от нуля

.

Единственность решения означает, что разные способы вычисления коэффициентов интерполянта дают в результате один и тоже полином.

Рассмотрим пример. Пусть рассматриваются три узла интерполяционной сетки, в которых известны значения некоторой функции: , , . Требуется интерполировать функцию полиномом второй степени , определив его коэффициенты .

Решение. На основании исходных данных известно, что , , а , составим систему уравнений (3.12) для определения значений коэффициентов прямым методом:

В результате получаем ответ: .