Экономизация степенных рядов

Полиномы Чебышева дают очень хорошее приближение функции, но эти приближения довольно сложно вычислять. Существует относительно простой метод корректировки традиционного разложения функции в степенной ряд (например, в ряд Тейлора) до разложения функции по полиномам Чебышева.

Пусть дана часть степенного ряда функции на отрезке [–1, 1]:

. (3.6)

Используя представление полиномов Чебышева степеней 0, 1, 2,..., можно вычислять функции в разложении по полиномам Чебышева:

(3.7)

Подстановка (3.7) в (3.6) преобразует разложение функции в степенной ряд (3.6) в ряд, разложенный по полиномам Чебышева:

. (3.8)

Для широкого класса функций их разложение по полиномам Чебышева сходится намного быстрее, следовательно, мы можем надеяться, что , , в формуле (3.8) убывают гораздо быстрее, чем , , в (3.6). Тогда, не уменьшая общую точность приближения функции (за счет улучшения структуры ее представления), можно понизить степень многочлена, удалив из (3.8) последний член разложения, если , где – некоторая заданная точность. В результате, с помощью многочлена меньшей степени доступно вычисление функции без ущерба для точности ее представления в ЭВМ.