Формула Тейлора, ряд Тейлора

Наиболее простым и достаточно эффективным способом приближения функций является использование формулы Тейлора для их разложения в степенной ряд. Пусть задана непрерывная функция , имеющая непрерывные производные до порядка включительно. Такую функцию можно разложить в некоторой окрестности точки по степеням по формуле Тейлора:

, (3.1)

где – остаточный член (ошибка, погрешность), связанный с заменой при вычислении бесконечного степенного ряда первыми его членами.

Ошибку ограничения можно оценить по формуле, где :

.

Формула Тейлора не только дает возможность организовать численный метод вычисления значений функции , но и позволяет оценить величину ошибки приближения, возникающей в результате ограничения количества рассматриваемых членов ряда. При ее использовании требуется определить точку , в окрестностях которой будет производиться разложение функции, при этом следует руководствоваться соображениями точности представления коэффициентов ряда (3.1) и величиной используемого интервала области определения, внутри которого будут производиться вычисления.

Рассмотрим разложение в ряд Тейлора функции . Найдем соответствующие производные и в результате получим последовательность функций: , , , , , , , , …. Если положить , то последовательность функций преобразуется в ряд чисел 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0,..., тогда по формуле (3.1) мы имеем:

.

Оценим величину ошибки приближения при рассмотрении первых четырех членов ряда и ,

,

поскольку для любых .

Из полученной оценки погрешности видно, что ошибка приближения зависит от и если не изменить число членов ряда в представлении функции , то для достаточно больших значение погрешности может превысить 1.