Метод итераций. Одним из наиболее важных способов численного решения нелинейных уравнений является метод итераций, частным случаем которого является и метод Ньютона

Одним из наиболее важных способов численного решения нелинейных уравнений является метод итераций, частным случаем которого является и метод Ньютона. Пусть дано уравнение , где – непрерывная функция, и требуется определить его вещественные корни. Представим исходное уравнение в виде, который далее будем называть итерационной формой

. (2.10)

Искомый корень при его подстановке в уравнение (2.10) обращает последнее в тождество. Пусть известно начальное приближение к корню (), подставив его в правую часть уравнения (2.10) получим новое приближение , затем аналогичным образом получим и т. д.,

, . (2.11)

При определенных свойствах функции определяемая по формуле (2.11) последовательность сходится к корню уравнения .

Теорема 2.1. Если функция непрерывна, а последовательность является сходящейся, то есть существует предел , то предел данной последовательности является корнем уравнения .

Доказательство. Пусть , перейдем к пределу в равенстве (2.11):

или .

Таким образом, предел последовательности при является корнем уравнения и может быть вычислен по формуле (2.11) с любой наперед заданной точностью.

Для практического применения метода итераций требуется установить достаточные условия сходимости данного итерационного процесса.

Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения , то есть область определения функции совпадает с областью ее значений. Тогда, если существует число , , такое что при , то:

1. Итерационный процесс (2.11) сходится независимо от начального значения .

2. Предельное значение является единственным корнем уравнения на отрезке .

3. Числом можно cчитать наименьшее значение на отрезке .

Замечание. Теорема остается верной, если функция определена и дифференцируема на бесконечном интервале , причем при выполнено неравенство .

Замечание. По условиям сформулированной теоремы метод итераций сходится при любом выборе начального значения на отрезке . Благодаря этому он является самоисправляющимся, т.е. отдельная ошибка в вычислениях, не выводящая за пределы отрезка , не повлияет на конечный результат, так как ошибочное значение можно рассматривать как новое начальное значение . Это свойство делает метод итераций одним из надежнейших методов решения нелинейных уравнений.

Процесс получения приближений в методе итераций проиллюстрирован на рис. 2.12. Из графиков видно, что при и при возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы. Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной : чем меньше ее значение вблизи корня, тем быстрее сходится итерационный процесс.

Рис. 2.12. Метод итераций: а) односторонний сходящийся процесс;