Г) двухсторонний расходящийся процесс.

Математически условие сходимости можно установить следующим образом. Представим приближения и в форме и , где и – отклонения приближений от корня. Функцию вблизи точки приближенно заменим первыми двумя членами ряда Тейлора, тогда итерационная формула (2.11) примет вид

,

но поскольку является корнем уравнения, то первые слагаемые в правой и левой частях этого выражения тождественно равны и, следовательно,

.

Для сходимости итерационного процесса необходимо, чтобы погрешность на каждом шаге убывала (), откуда следует, что в окрестности корня должно выполняться условие

(то есть ). (2.12)

Таким образом, для того чтобы итерационный процесс (2.11) был сходящимся, необходимо, чтобы абсолютная величина производной в окрестности корня была меньше единицы. Если это условие выполняется на отрезке локализации корня, то в качестве начального приближения можно взять любую точку, принадлежащую данному отрезку ().

Переход от уравнения (2.1) к уравнению в итерационной форме (2.10) можно осуществить различными способами в зависимости от вида функции . Необходимо построить функцию так, чтобы выполнялось условие сходимости (2.12). Рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения (2.1) к уравнению (2.10). Умножим левую и правую части уравнения (2.1) на произвольную константу и добавим к обеим частям неизвестное . При этом корни исходного уравнения не изменятся

или . (2.13)

Уравнение (2.13) эквивалентно уравнению (2.10), если положить, что . Произвольный выбор константы позволяет обеспечить выполнение условия сходимости (2.12). Поскольку в данном случае , значение следует выбирать так, чтобы выполнялось условие

.

Желательно выбрать величину такой, чтобы , тогда сходимость будет двухсторонней (рис. 2.12.в). В этом случае в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать соотношение (2.6).

Замечание. При сходимости последовательных приближений к корню с разных сторон, что имеет место при в окрестности корня (рис.2.12.в), величина превосходит истинную погрешность, то есть и критерий окончания итерационного процесса (2.6) является объективным. Если же , то сходимость к корню носит односторонний характер (рис. 2.11.а), и условие может выполниться гораздо раньше требования . В этом случае контроль достигнутой точности лучше осуществлять проверкой неравенства

, где .

Наибольшая скорость сходимости в методе итераций будет наблюдаться при . Этого можно добиться, выбрав параметр зависящим от в виде

.

При этом итерационная формула (2.11) переходит в формулу Ньютона

.

Таким образом, метод Ньютона можно трактовать как частный случай метода итераций, обладающий максимальной скоростью сходимости.