Методы приближения функций

Пусть задана некоторая функция , для которой доступно полное исследование свойств (вычисление любых производных, поиск экстремумов и т.д.). Требуется разработать численный метод вычисления ее значений для произвольных значений аргумента . Как известно, в ЭВМ непосредственно вычисляются функции, использующие элементарные арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления. Среди элементарных функций особенностям организации вычислительного процесса на ЭВМ удовлетворяют степенные и полиномиальные функции (многочлены). Таким образом, функция, с помощью которой целесообразно приближать (заменять) исходную функцию , является полиномом : , где – его коэффициенты, а целое положительное число – степень полинома.

Правомочна ли такая постановка задачи, когда произвольную функцию можно заменить полиномиальной функцией ? Для класса функций, непрерывных на некотором отрезке , ответ на поставленный вопрос положителен. Из курса линейной алгебры известно, что последовательность многочленов образует бесконечномерный базис в пространстве функций, непрерывных на отрезке , и любую функцию данного класса можно представить как линейную комбинацию базисных функций, то есть: .

Ограничивая бесконечный степенной ряд членами, можно приближать функцию полиномом с любой наперед заданной степенью точности.

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то каково бы ни было число , найдется алгебраический многочлен , такой что , .