Метод секущих. Еще одна модификация метода Ньютона основана на математическом смысле производной и связана с приближенным вычислением производной в окрестности точки по

Еще одна модификация метода Ньютона основана на математическом смысле производной и связана с приближенным вычислением производной в окрестности точки по формуле

.

Подставляя данное выражение в формулу (2.7), приходим к формуле

, , (2.9)

метода секущих. Название метода связано с его геометрической интерпретацией (рис. 2.11). Секущая, проведенная через точки и , пересекает ось абсцисс в точке , значение которой определяется формулой (2.9).

Рис. 2.11. Иллюстрация метода секущих.

Для того чтобы начать итерационный процесс в методе секущих, необходимо задать два начальных приближения: нулевое и первое . На практике, как правило, поступают следующим образом: нулевое приближение выбирают так же как в методе Ньютона, а в качестве первого приближения выбирают величину или , где – заданная точность вычисления корня. Эти значения используются для нахождения последующего (второго) приближения по формуле (2.9). Затем значения и используют для определения третьего приближения и т. д. Для завершения итерационного процесса можно воспользоваться условием (2.6).

Метод секущих уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако он не требует вычисления производной в явном виде, и поэтому оказывается особенно полезным в тех случаях, когда получение аналитического выражения для производной затруднено или невозможно, например, если функция получена в ходе численных расчетов, а не задана аналитически.

По алгоритму метод секущих близок к методу хорд, однако для него начальные приближения могут располагаться как с разных сторон от корня, так и с одной стороны от него. Кроме того, при уточнении корня не требуется проверять знаки функции на концах отрезка его локализации.