Метод Ньютона (касательных)

Для данного метода предполагается, что и отличны от нуля и сохраняют знак на отрезке локализации корня. Пусть известно начальное приближение к корню (вопрос выбора начального приближения будет подробно рассмотрен далее). Проведем в данной точке касательную к графику функции (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Иллюстрации метода Ньютона.

Касательная к графику функции в точке пересекает ось абсцисс в точке , которую будем рассматривать в качестве следующего приближения. Значение (на основании рис. 2.9) может быть рассчитано следующим образом:

, выражая , получим .

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения. Формула для вычисления приближения имеет вид

_, . (2.7)

Из формулы (2.7) следует условие применимости метода: функция должна быть дифференцируемой и в окрестности корня не должна менять знак ( должна быть монотонной). В качестве условий окончания итерационного процесса может быть использовано условие (2.5) или (2.6).

Замечание. В методе Ньютона, в отличие от методов половинного деления и хорд, не обязательно задавать отрезок , содержащий корень уравнения, а достаточно найти некоторое начальное приближение корня на интервале, где выполняются условия монотонности и непрерывности функции.

Замечание. Формула метода Ньютона может быть получена и из других соображений. Зададимся некоторым начальным приближением корня . Заменим функцию в окрестности точки некоторым количеством первых слагаемых результата ее разложения в ряд Тейлора, например

,

и вместо нелинейного уравнения решим линеаризованное уравнение

,

которое, вообще говоря, является уравнением касательной к графику функции в точке начального приближения корня . Рассмотрим решение данного уравнения как следующее (первое) приближение к искомому значению корня. Решение уравнения очевидно:

.

Повторяя рассмотренный процесс, приходим к формуле Ньютона (2.7).

Пояснение. Ряд Тейлора для функции в окрестности точки имеет вид

.

Исследуем сходимость метода Ньютона. Выясним основные условия сходимости последовательности значений , вычисляемых по формуле (2.7), к корню уравнения (2.1). Предполагая, что дважды непрерывно дифференцируема, разложим в ряд Тейлора в окрестности приближения

.

В результате уравнение примет вид

.

Разделив полученное соотношение на и перенеся часть слагаемых из левой части в правую, получим:

.

Учитывая, что выражение в квадратных скобках, согласно формуле (2.7), равно , получаем

.

В результате справедлива следующая оценка:

, (2.8)

где , а .

Очевидно, что ошибка вычисления корня убывает, если

.

Полученное условие означает, что сходимость метода Ньютона зависит от выбора начального приближения корня . Оценка (2.8) характеризует скорость убывания погрешности для метода Ньютона: на каждом шаге погрешность пропорциональна квадрату погрешности на предыдущем шаге. Следовательно, метод Ньютона обладает квадратичной сходимостью.

Рассмотрим принцип выбора начального приближения в методе Ньютона. Как следует из приведенных выше соотношений, сходимость итерационной последовательности, получаемой в методе Ньютона, зависит от выбора начального приближения . Это можно заметить и из геометрической интерпретации метода. Так, если в качестве начального приближения взять точку , а не (рис. 2.10), то сходимость итерационного процесса не гарантируется. Это обусловлено тем, что получаемое приближение корня может не принадлежать отрезку его локализации или интервалу монотонности и непрерыности функции.

Рис. 2.10. Пример отсутствия сходимости метода Ньютона.

Если в качестве начального приближения выбрать точку , то получим сходящуюся последовательность. В общем случае, если задан отрезок , содержащий корень, и известно, что функция монотонна на данном отрезке, то в качестве начального приближения можно выбрать ту границу отрезка , где совпадают знаки функции и второй производной (рис. 2.9). Такой выбор начального приближения гарантирует сходимость метода Ньютона при условии монотонности функции на отрезке локализации корня.