Метод хорд. Рассматриваемый метод, как и метод половинного деления, предназначен для уточнения корня на отрезке

Рассматриваемый метод, как и метод половинного деления, предназначен для уточнения корня на отрезке , на концах которого функция принимает значения разных знаков, а на самом отрезке непрерывна и монотонна. Очередное приближение , в отличие от метода половинного деления, выбирается не в середине отрезка , а в точке, где ось абсцисс пересекается прямой линией (хордой), проведенной через точки и , имеющие соответственно координаты , (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Иллюстрация метода хорд.

Запишем уравнение прямой линии (хорды), проходящей через точки и :

.

Для отыскания точки пересечения хорды с осью абсцисс получим уравнение

.

В качестве нового отрезка для продолжения итерационного процесса выбирается тот из двух отрезков и , на концах которого функция принимает значения разных знаков. Для рассматриваемого случая (рис. 2.7) выбираем отрезок , так как . Следующая итерация состоит в определении нового приближения как точки пересечения хорды с осью абсцисс и так далее. Процесс уточнения корня заканчивается, когда расстояние между очередными приближениями станет меньше заданной точности, то есть

, (2.6)

или при выполнении условия (2.5).

Замечание. Метод половинного деления и метод хорд очень похожи, в частности, процедурой проверки знаков функции на концах отрезка, при этом второй из них в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса, хотя также обладает линейной скоростью сходимости. Кроме этого, оба рассмотренных метода не требуют знания дополнительной информации о функции , например, не требуется чтобы функция была дифференцируемой. Непрерывность функции на отрезке гарантирует сходимость данных методов. Более сложные методы уточнения корня используют дополнительную информацию о функции , прежде всего свойство дифференцируемости. В результате они обычно обладают более быстрой сходимостью, но применимы для более узкого класса функций и их сходимость не всегда гарантирована. Примером данных методов служит метод Ньютона (касательных).

Замечание. Метод хорд иногда называют также методом пропорциональных частей: корень ближе к тому из концов отрезка его локализации, в котором модуль значения ординаты меньше. Данное утверждение основано на подобии треугольников и (рис. 2.7). В то же время данное утверждение не всегда верно, так как возможны случаи, аналогичные представленному на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Нарушение пропорциональности частей отрезка локализации корня.