Полином Лагранжа

Для построения интерполяционного многочлена прямым методом необходимо предварительно решить систему уравнений (3.12). Интерполяционная формула Лагранжа не требует решения системы (3.12) и в общем виде соответствующий полином можно представить следующей формулой:

, (3.13)

где – узлы интерполяционной сетки, а – значения функции в соответствующих узловых точках.

Заметим, что многочлен удовлетворяет следующему требованию:

Многочлен равен нулю в точках , а в точке равен единице. Это обеспечивает требование прохождения интерполяционного многочлена через все узлы интерполяционной сетки.

Каждое из слагаемых формулы (3.13) является полиномом степени не выше , следовательно, также есть полином степени не выше . Формула (3.13) составлена так, чтобы выполнялось условие . Если функция достаточно гладкая, то есть имеет непрерывные производные вплоть до порядка включительно, то погрешность интерполяции, определяемую формулой , можно оценить следующим образом:

,

где , .

Рассмотрим пример. Пусть рассматриваются три узла интерполяционной сетки, в которых известны значения некоторой функции: , , . Требуется интерполировать функцию полиномом Лагранжа второй степени .

Решение. На основании исходных данных известно, что и , определим , и :

;

;

.

В результате

.

Получаем ответ: (полученный в данном примере результат совпадает с результатом, полученным ранее при интерполировании функции прямым методом, однако, в общем случае совпадение результатов может и не наблюдаться).