Метод трапеций. На каждом частичном отрезке интегрирования , , заменим подынтегральную функцию полиномом первой степени – прямой линией

На каждом частичном отрезке интегрирования , , заменим подынтегральную функцию полиномом первой степени – прямой линией, проходящей через точки и :

, .

Пояснение. В общем виде уравнение прямой линии, проходящей через две точки и , задается следующим образом:

, откуда .

Подставляя полученное выражение в формулу (4.1) и выполняя интегрирование по частичным отрезкам, приходим к формуле трапеций:

, .

На отрезках , , площадь под графиком функции заменяется площадями трапеций с основаниями, равными значениям функции на концах отрезка, и высотой, равной (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Иллюстрация метода трапеций.

В случае постоянного шага интегрирования, когда , , формула трапеций принимает вид

. (4.6)

Для удобства вычислений формулу (4.6) записывают следующим образом:

.

Вид представленной формулы позволяет сделать вывод, что она может быть сформирована также исходя из других соображений, так как получаемый с ее применением результат является средним арифметическим результатов использования формул левых (4.3) и правых (4.4) прямоугольников. Поэтому и указанное утверждение справедливо для случаев равных и неравных шагов интегрирования.

Замечание. Несмотря на то, что в методе трапеций для аппроксимации подынтегральной функции используются полиномы первой степени, по сравнению с методами прямоугольников, которые используют полиномы нулевой степени, точность метода трапеций оказывается ниже точности метода средних прямоугольников. Более высокая точность метода средних прямоугольников объясняется «удачным» выбором узловых точек для вычисления значений подынтегральной функции.