Погрешность методов Ньютона-Котеса

Рассмотрим один из возможных способов оценки погрешности методов численного интегрирования на примере метода средних прямоугольников. Для этого запишем выражение для интеграла на отрезке , полученное методом средних прямоугольников для постоянного шага интегрирования:

,

где , а – погрешность интегрирования, откуда

. (4.10)

Для оценки погрешности интегрирования разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора в окрестности средней точки :

. (4.11)

В малой окрестности точки в разложении (4.11) можно ограничиться небольшим количеством членов ряда. Поэтому, подставляя в (4.10) вместо функции ее тейлоровское разложение (4.11) и интегрируя его почленно, можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью

. (*)

При интегрировании и подстановке пределов получаем, что все интегралы от членов ряда (4.11), содержащих нечетные степени при , обращаются в ноль. Подставляя полученное соотношение в формулу (4.10), получим

.

При малой величине шага интегрирования основной вклад в погрешность будет вносить первое слагаемое, называемое главным членом погрешности вычисления интеграла на отрезке , будем считать его равным . Главный член полной погрешности вычисления интеграла на отрезке определяется суммированием погрешностей на каждом отрезке :

. (4.12)

К интегралу в формуле (4.12) мы перешли, «используя» метод средних прямоугольников для функции .

Формула (4.12) представляет собой теоретическую оценку погрешности вычисления интеграла методом средних прямоугольников, данная оценка является априорной, так как не требует знания значения вычисляемого интеграла. Степень, в которую возводится шаг , называется порядком метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет второй порядок точности. Аналогично можно получить априорные оценки погрешностей других рассмотренных ранее методов.

Оценим погрешность метода левых прямоугольников. Погрешность интегрирования на отрезке равняется разности между точным значением интеграла и его приближенным значением :

.

Из полученного выражения видно, что основной член погрешности на каждом частичном отрезке имеет второй порядок. Поскольку полное число отрезков интегрирования равно , то полная погрешность метода левых прямоугольников может быть рассчитана следующим образом:

.

Результат оценки погрешности формулы правых прямоугольников будет таким же. Погрешность формулы трапеций оценивается аналогичным образом. Так как значение интеграла на отрезке вычисляется по формуле , то погрешность может быть рассчитана по формуле

.

Следовательно, полная погрешность формулы трапеций на отрезке может быть рассчитана следующим образом:

Далее приведены окончательные результаты оценки погрешностей:

1. Методы левых и правых прямоугольников

.

2. Метод средних прямоугольников

.

3. Метод трапеций

.

4. Метод Симпсона

.

Методы левых и правых прямоугольников являются методами первого порядка точности. Методы средних прямоугольников и трапеций имеют второй порядок точности, при этом метод трапеций обладает вдвое большей по абсолютной величине погрешностью. Поэтому, если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка применять метод средних прямоугольников вследствие его меньшей погрешности. Метод Симпсона имеет четвертый порядок точности с очень малым числовым коэффициентом. Формула Симпсона позволяет получить очень высокую точность, если четвертая производная подынтегральной функции не слишком велика. В противном случае, методы второго порядка точности могут дать большую точность, чем метод Симпсона.