Классификация методов численного интегрирования

Пусть рассматривается задача вычисления определенного интеграла вида

,

где – непрерывная и неотрицательная на отрезке функция, – верхний и нижний пределы интегрирования.

Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, определенный интеграл удается вычислить непосредственно с помощью формулы Ньютона-Лейбница как приращение первообразной функции на отрезке интегрирования:

,

где и – значения первообразной функции на концах отрезка интегрирования.

В реальных исследовательских задачах выразить интеграл через элементарные функции удается достаточно редко, а компактный и удобный для приведения к числу ответ получается еще реже. Поэтому на практике формулой Ньютона-Лейбница часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам:

1. Вид функции не позволяет аналитически выразить первообразную через элементарные функции.

2. Подынтегральная функция задана таблично.

В этих случаях используют приближенные, численные методы интегрирования. Назначение большинства приближенных методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции аппроксимирующей функцией , для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях, то есть

,

где – погрешность вычисления интеграла.

Чаще всего функцию заменяют интерполяционным полиномом, для построения которого используются значения функции в узлах , :

,

где – остаточный член.

Подставляя полученное выражение в определенный интеграл вместо подынтегральной функции, получим общую формулу численного интегрирования

,

где – значения подынтегральной функции в узловых точках , – весовые коэффициенты, а – погрешность или остаточный член формулы.

Пояснение. Интерполяция – приближенное вычисление неизвестных значений функции по известным ее значениям в заданных точках. Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента.

С целью уменьшения погрешности, связанной с заменой подынтегральной функции, отрезок интегрирования разбивают на отрезков и на каждом из полученных (частичных) отрезков , , заменяют подынтегральную функцию аппроксимирующей функцией . Тогда приближенное значение интеграла определяется суммой частичных интегралов от функций , взятых в пределах от до для :

. (4.1)

Методы численного интегрирования можно классифицировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции с помощью функций , . В результате данной аппроксимации вычисление определенного интеграла реализуется посредством расчета суммарной площади элементарных геометрических фигур, составляющих соответствующую криволинейную трапецию с некоторой погрешностью. Рассмотрим краткую характеристику классов наиболее распространенных численных методов интегрирования.

Методы Ньютона-Котеса основаны на полиномиальной аппроксимации подынтегральной функции. Методы данного класса отличаются друг от друга степенью используемого полинома, от которой зависит количество узлов, в которых необходимо вычислять функцию . В методах Ньютона-Котеса отрезок интегрирования разбивается, как правило, на отрезки равной длины, величина которых определяется как и называется шагом интегрирования. Алгоритмы данных методов просты и легко поддаются программной реализации.

Сплайновые методы базируются на аппроксимации подынтегральной функции сплайнами и различаются по типу выбранных сплайнов. В данном учебно-методическом пособии эти методы рассматриваться не будут.

Пояснение. Под сплайном обычно понимают функцию, совпадающую с функциями более простой природы на каждом элементе разбиения своей области определения. Классический сплайн одной переменной строится следующим образом: область определения разбивается на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим полиномом. Максимальная степень из использованных полиномов называется степенью сплайна. Математические сплайны берут свое начало от тонких гибких стержней, которыми пользовались чертежники для проведения плав­ных кривых через заданные точки. Стержень закреплялся в точках , , и в результате подвешивания между ними грузов принимал форму кривой . Если перейти к математическому описанию сплайна, то сплайн-функцией степени с точками соединения будет функция , которая на отрезке имеет непрерывные производные до порядка включительно и на каждом из отрезков , , равна многочлену степени не выше .

Методы наивысшей алгебраической точности (например, методы Гаусса и Маркова) основаны на использовании заданного количества неравноотстоящих узлов, расположенных так, чтобы обеспечить минимальную погрешность интегрирования для наиболее сложных функций. Методы различаются способом выбора узлов и широко используются для интегрирования, в том числе они применимы и для вычисления несобственных интегралов (см. разд. 4.6). По сравнению с методами Ньютона-Котеса, методы наивысшей алгебраической точности более громоздки и требуют больших объемов оперативной памяти ЭВМ, в данном учебно-методическом пособии эти методы рассматриваться не будут.

В методах Монте-Карло узловые точки выбираются с помощью генератора случайных чисел, в результате для вычисления интеграла используется вероятностная процедура. Данные методы оказываются особенно эффективными при вычислении кратных интегралов.

Независимо от выбранного метода, в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность . Погрешность, возникающая при численном интегрировании (также как и при численном дифференцировании), имеет два основных источника. Первым источником погрешности является замена подынтегральной функции аппроксимирующей функцией – погрешность аппроксимации. Как будет показано далее, погрешность аппроксимации уменьшается с увеличением количества отрезков разбиения исходного отрезка интегрирования за счет более точной аппроксимации подынтегральной функции. Второй источник погрешности – неточности в вычислении подынтегральной функции в узловых точках и ошибки округления. Данная погрешность возрастает с ростом и с некоторого значения начинает преобладать над погрешностью аппроксимации. Это обстоятельство должно предостеречь от выбора чрезмерно большого числа .