Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод Симпсона (метод парабол)
Аппроксимацию функции по методу трапеций можно интерпретировать как замену исходной функции некоторой кусочно-линейной функцией. Ошибка метода в данном случае определяется «грубостью» предложенного способа аппроксимации функции. Естественно допустить, что если исходную функцию аппроксимировать на частичных отрезках не линейными функциями, а полиномами более высоких порядков, то ошибка соответствующего метода численного интегрирования должна уменьшиться. В методе Симпсона в качестве функции, с помощью которой на частичных отрезках интегрирования заменяется исходная функция , выбрана парабола. Пояснение. Более высокая точность вычисления интегралов обеспечивается при использовании параболической аппроксимации (полиномом второй степени) по трем соседним точкам. Для нахождения коэффициентов , и полинома, проходящего через точки , , , требуется найти решение следующей системы линейных уравнений
относительно неизвестных , , . Разделим отрезок интегрирования на четное число равных отрезков с шагами . На каждом отрезке длиной , содержащем три узла , заменим подынтегральную функцию полиномом второй степени . Пример представлен на рис. 4.8. Рис. 4.8. Пример замены функции параболой. Для рассматриваемого примера значения коэффициентов , и могут быть вычислены следующим образом:
откуда , , , а . В результате рассматриваемый полином второй степени примет вид
.
Интегрируя приведенное выражение на отрезке , получим
(4.7) Приближенное значение интеграла на исходном отрезке интегрирования получим суммированием частичных интегралов (4.7) по всем отрезкам :
(4.8)
Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол, в соответствии с которой искомый определенный интеграл вычисляется как суммарная площадь параболических сегментов на всех частичных отрезках интегрирования . Если подынтегральную функцию заменять полиномом второй степени на отрезках , , с привлечением дополнительных точек , – середин данных отрезков, то число отрезков разбиения может быть любым (не обязательно четным), а формула (4.8) будет иметь вид
. (4.9)
Напомним, что , , , . Замечание 1. Формула (4.8) может быть использована для вычисления интегралов от функций, заданных как аналитическим выражением, так и таблично, тогда как формула (4.9) применима только в тех случаях, когда подынтегральная функция задана аналитически. Замечание 2. Рассмотренные формулы, используемые для приближенного вычисления интегралов, называются квадратурными формулами. Нетрудно заметить, что все рассмотренные выше формулы имеют следующую структуру:
,
где – значения подынтегральной функции в узловых точках , а – весовые коэффициенты.
|