Метод Симпсона (метод парабол)

Аппроксимацию функции по методу трапеций можно интерпретировать как замену исходной функции некоторой кусочно-линейной функцией. Ошибка метода в данном случае определяется «грубостью» предложенного способа аппроксимации функции. Естественно допустить, что если исходную функцию аппроксимировать на частичных отрезках не линейными функциями, а полиномами более высоких порядков, то ошибка соответствующего метода численного интегрирования должна уменьшиться. В методе Симпсона в качестве функции, с помощью которой на частичных отрезках интегрирования заменяется исходная функция , выбрана парабола.

Пояснение. Более высокая точность вычисления интегралов обеспечивается при использовании параболической аппроксимации (полиномом второй степени) по трем соседним точкам. Для нахождения коэффициентов , и полинома, проходящего через точки , , , требуется найти решение следующей системы линейных уравнений

относительно неизвестных , , .

Разделим отрезок интегрирования на четное число равных отрезков с шагами . На каждом отрезке длиной , содержащем три узла , заменим подынтегральную функцию полиномом второй степени . Пример представлен на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Пример замены функции параболой.

Для рассматриваемого примера значения коэффициентов , и могут быть вычислены следующим образом:

откуда , , , а .

В результате рассматриваемый полином второй степени примет вид

.

Интегрируя приведенное выражение на отрезке , получим

(4.7)

Приближенное значение интеграла на исходном отрезке интегрирования получим суммированием частичных интегралов (4.7) по всем отрезкам :

(4.8)

Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол, в соответствии с которой искомый определенный интеграл вычисляется как суммарная площадь параболических сегментов на всех частичных отрезках интегрирования .

Если подынтегральную функцию заменять полиномом второй степени на отрезках , , с привлечением дополнительных точек , – середин данных отрезков, то число отрезков разбиения может быть любым (не обязательно четным), а формула (4.8) будет иметь вид

. (4.9)

Напомним, что , , , .

Замечание 1. Формула (4.8) может быть использована для вычисления интегралов от функций, заданных как аналитическим выражением, так и таблично, тогда как формула (4.9) применима только в тех случаях, когда подынтегральная функция задана аналитически.

Замечание 2. Рассмотренные формулы, используемые для приближенного вычисления интегралов, называются квадратурными формулами. Нетрудно заметить, что все рассмотренные выше формулы имеют следующую структуру:

,

где – значения подынтегральной функции в узловых точках , а – весовые коэффициенты.