Вычисление интегралов с заданной точностью

Используя приведенные в разд. 4.4 оценки погрешности вычисления интегралов, можно априори определить шаг интегрирования , при котором погрешность вычисленного результата гарантированно не превысит некоторую заданную погрешность . Однако на практике пользоваться априорными оценками погрешности не всегда удобно, в таких случаях контроль за точностью получаемого результата можно организовать следующим образом. Пусть вычисления проводились с постоянным шагом и – вычисленное с шагом приближенное значение интеграла . Если затем вычислить приближенное значение с шагом , то в качестве оценки погрешности последнего вычисленного значения можно рассматривать величину .

При необходимости вычислить результат с заданной точностью вычисления повторяют с последовательно уменьшающимся (обычно вдвое) шагом до тех пор, пока не выполнится условие .

Можно применить указанное правило для контроля за погрешностью на каждом частичном отрезке , . При этом длина очередного шага , посредством последовательного уменьшения начальной длины вдвое, устанавливается такой, чтобы выполнялось неравенство

.

Тогда, в худшем случае, ошибка вычисления значения интеграла на всем отрезке интегрирования не будет превосходить сумму локальных погрешностей

,

то есть не будет превосходить заданного уровня погрешности.

Способ вычисления интеграла с автоматическим выбором шага имеет то преимущество, что он «приспосабливается» к особенностям подынтегральной функции: в областях резкого изменения функции шаг уменьшается, а там, где функция меняется слабо, – увеличивается. Такого рода алгоритмы называются адаптивными, то есть приспосабливающимися, их использование позволяет сократить затраты вычислительных ресурсов без потери точности вычисления.

Одним из подходов к экономии вычислительных ресурсов ЭВМ при необходимости сокращения шага интегрирования вдвое является сохранение в памяти ЭВМ результатов промежуточных вычислений для исходного шага и дополнение их результатами расчетов, связанных с введением на отрезках интегрирования дополнительных точек, располагающихся в их середине.