Численное интегрирование. Численное интегрирование.

Содержание лекции

Численное интегрирование.

1. МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

1.1. ФОРМУЛА ЛЕВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

1.2. ФОРМУЛА ПРАВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

1.3. ФОРМУЛА СРЕДНИХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ.

1.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТАБЛИЧНО ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

1.5. ОШИБКА МЕТОДА ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

2. МЕТОД ТРАПЕЦИЙ.

2.1. ВЫЧИЧЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ТАБЛИЦЕЙ С РАВНОСТОЯЩИМИ УЗЛАМИ, ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИЙ.

2.2. Ошибка ограничения для метода трапеций.

2.3. Экстраполяционный переход к пределу.

3. Правило Симпсона.

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

В данном случае ставится задача приближенного расчета определенного интеграла.

Методы численного интегрирования основаны на том, что интеграл представляется в виде предела суммы площадей, и методы численного интегрирования позволяют вычислить эту сумму с достаточной точностью.

Необходимо вычислить интеграл:

J=∫ f(x) dx, при условии,

что а и b - пределы интегрирования, являются конечными величинами,

f(x) - непрерывная функция Х во всем интервале, т.е.а< х< b.

Общий подход к решению: определенный интеграл J представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x), осью X, и прямыми х=а и х=b.

Интеграл J вычисляется путем разбиения интервала [а; b] на множество меньших интервалов, затем определяется площадь каждой частицы и далее определяется общая сумма всех площадей.

Существует два способа разбиения исходного интервала на меньшие:

1. Разбиение на интервалы пределов интегрирования производится заранее, интервалы выбираются равными (метод трапеций, метод Симпсона).

2. Местоположение и длина интервалов определяются путем анализа. Сначала ставится требование достичь наибольшей точности с заданным числом интервалов, а затем в соответствии с этим определяются границы интервалов (метод Гаусса).