Ошибка ограничения для метода трапеций.

При использовании формулы(6) для вычисления определенного интеграла возникает ошибка ограничения, равная сумме площадей между кривой y=f(x) и хордами, соединяющими y_i и y_i+1 (отрезок ВС).

Ошибка ограничения оценивается путем разложения функции y=f(x) в ряд Тейлора в точках x_i и x_i+1.

Для точки x_i

(9)

Для точки x_i+1=x_i+h

(10)

Возьмем среднее арифметическое:

(11)

Проинтегрируем полученное выражение

(12)

Это выражение (12) представляет собой оценку истинного значения интеграла. Первое же слагаемое правой части выражения дает формулу трапеций, поэтому все члены ряда правой части выражения, содержащие h в степени выше правой, определяют ошибку ограничения, которая равна

(13)

↑ вносит небольшой вклад

или в общем виде

(14)

k необходимо определить.

Рассмотрим функцию y=x², тогда

(15)

- (фактическое решение)

На основании формул (12) и (14) и учитывая, что y_i=x_i², y_i+1=(x_i + h)², следует

(16)

Из уравнений (15) и (16) находим

(17)

так как , то из (14) имеем

(18)

(19)

Полную ошибку ограничения определяют

(20)

Чаще всего ошибку ограничения для метода трапеций выражают формулой, выведенной на основании теоремы о среднем значении

(21)

где