Метод хорд. Пусть на отрезке [a, b] функция f(x) непрерывна, принимает на концах отрезка значение разных знаков
Пусть на отрезке [a, b] функция f(x) непрерывна, принимает на концах отрезка значение разных знаков, а производная f ’(x) сохраняет знак. В зависимости от знака второй производной возможны следующие случаи расположения кривых (рис. 2.7., 2.8):
1. f(a)< 0, f(b)> 0, f ‘(x)> 0 – функция возрастает
а) f ’’(x)> 0 (кривая вогнута вниз) б) f ’’(x)< 0 (кривая вогнута вверх)
 
Рис. 2.7
2. f(a)> 0, f(b)< 0, f ‘(x)< 0 – функция убывает
а) f ’’(x)> 0 б) f ’’(x)< 0
 
Рис. 2.8
Рассмотрим случай, когда f ’(x) и f ’’(x) имеют одинаковые знаки. (рис. 2.9.)
3. f(a)< 0, f(b)> 0, f ‘(x)> 0 – функция возрастает
а) f ’’(x)> 0 (кривая вогнута вниз) б) f ’’(x)< 0 (кривая вогнута вверх)
  f(a)< 0, f(b)> 0
f ‘(x)> 0, f ’’(x)> 0
Рис. 2.9
График функции проходит через точки A0(a, f(a)) и B(b, f(b)). Искомый корень уравнения (точка ξ) нам известен, вместо него возьмем точку x1 пересечения хорды A0B с осью абсцисс это и будет приближенное значение корня.
Уравнение хорды A0B:  .
Найдем значение x=x1, для которого y=0
 .
Теперь корень находится на отрезке [x1, b]. Применим метод хорд к этому отрезку. Проведем хорду, соединяющую точки A1(x1, f(x1)) и B и найдем точку x2 – точку пересечения хорды A1B с осью ox
 ,
Продолжая этот процесс, находим:
 и т.д.
 (2.2)
В этом случае конец b отрезка [a, b] остается неподвижным, а конец a перемещается.
Формула (2.2) носит название формулы метода хорд.
Вычисление по формуле (2.2) продолжаем до тех пор, пока не достигнем заданной точности, т.е. должно выполняться условие:  , где  - заданная погрешность.
Теперь рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. f ‘(x) f ’’(x)< 0 (рис. 2.10).
Рис. 2.10
Соединим точки A(a, f(a)) и B0(b, f(b)) хордой AB0. Точку пересечения хорды AB0 с осью ox будем считать первым приближением корня. В этом случае, очевидно, неподвижным концом отрезка будет являться конец a.
Запишем уравнение хорды AB0:
Отсюда найдем x1, полагая y=0:  .
Теперь корень  . Применяя метод хорд к отрезку, получим
 (2.3)
Условие окончания вычислений: .
Итак, если f ‘(x) f ’’(x)> 0 приближенное значение корня находят по формуле (2.2), если f ‘(x) f ’’(x)< 0, то по формуле (2.3).
Практически выбор той или иной формулы осуществляют, пользуясь следующим правилом: неподвижным концом отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.
|
