Интерполяционный многочлен Лагранжа. Пусть функция задана таблично x0 x1 xn y0 y1 yn

Пусть функция задана таблично

Построим многочлен L_n(x), такой, что

L_n(x₀)= y₀, L_n(x₁)= y₁, …, L_n(x_n)= y_n. (3.1)

При такой постановке задачи узлы интерполяции x₀, x₁, …, x_n могут произвольно отстоять друг от друга, т.е. узлы интерполяции неравноотстоящие.

Задача имеет решение, если степень многочлена L_n(x) будет не выше n.

Представим многочлен L_n(x) в виде:

,

где a_i (i=0, 1, …, n) неизвестные коэффициенты, которые надо найти. Из условий (3.1) следует, что

Таким образом, получаем систему из n+1 уравнение для нахождения (n+1) неизвестных a₀, a₁, …, a_n

(3.2)

определитель которой

отличен от нуля, если x₀, x₁, …, x_n различны.

Тогда существует единственное решение этой системы

.

Найдя коэффициенты a₀, a₁, …, a_n, запишем многочлен L_n(x). Однако, каждый раз решать систему уравнений (3.2) затруднительно, поэтому рассмотрим другой способ построения L_n(x). Запишем его в виде:

. (3.3)

Из выражения (4.3) следует, что функция Q_n(x) должна удовлетворять условиям:

.

Легко видеть, что этим условиям отвечает многочлен вида:

(3.4)

В точках функция Q_i(x) обращается в 0, а в точке x_i равна 1.

Тогда, подставляя в (3.3) выражение (3.4), окончательно получим:

.

Этот многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

В сокращенном виде его можно записать так:

.