Функциональный масштаб. Интерполяция

ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ. Для удобного графического представления функциональной зависимости y=f(х) могут применяться: a) логарифмический масштаб; b) обратный функциональный масштаб; c)прямой функциональный масштаб.

ОБРАТНЫЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МАСШТАБ. Пусть y=f(х)=f(kx). Преобразуем график в прямую линию у* = kx. Это можно сделать преобразованием . Если исходная функция имеет более общую зависимость , то данное преобразование координаты у дает уравнение в системе координат (x, y*)

Пример: у = 1-ехр(- k(x-с)), х > с. Преобразование у* = —ln(1- у) приводит к уравнению прямой линии у* = k(x-c).

Обратный функциональный масштаб удобно применять к " S" -образным кривым.

ПРЯМОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МАСШТАБ. Пусть y=f(x)=kf ₁(x)+c. Тогда преобразование х* = f ₁(x) приводит график к прямой линии у = kx* + с. Такой функциональный масштаб целесообразно использовать для " U " и " J " -образных кривых.

Пример: . Тогда у = 5х* -2.5. Обратите внимание, что обратный функциональный масштаб в этом примере менее удобен, так как бесконечную кривую он преобразует в конечный отрезок прямой , а это приведет к сгущению точек на концах отрезка.

ВЕРОЯТНОСТНАЯ БУМАГА. Вероятностной бумагой называется функциональный масштаб, в котором функция распределения F(x) случайной величины х преобразуется в прямую линию. Для этого случая необходимо применить обратное функциональное преобразование у* = F^-1 (y). Если на вероятностной бумаге построить полигон накопленных частот Р_q (х_q), х_qÎ [a; a+qD], где , то:

1) нелинейная зависимость от х _q указывает на несоответствие эмпирической и теоретической функций распределения; линейная зависимость, напротив, говорит о соответствии эмпирической и теоретической функций распределения;

2) по линейной зависимости легко найти параметры с и s в функции распределения F(x) случайной величины х.

,