Численное интегрирование

Рассмотрим задачу вычисления определенного интеграла функции y = f (x) на интервале . Интеграл I приближенно представляется в виде квадратурной формулы

, (1)

где коэффициенты и точки отсчета (узлы) определяются в соответствии с выбранным способом аппроксимации подинтегральной функции f (x). Погрешность квадратурной формулы (1) зависит от вида аппроксимирующих функций , а также от расположения и количества узлов . Точность формулы (1) увеличивается с ростом числа узлов N.

При практических расчетах значение N обычно выбирают из соотношения

, (7)

Перечислим наиболее употребительные квадратурные формулы численного интегрирования для равноотстоящих узлов , где - шаг интегрирования. Укажем также оценки погрешностей R каждой формулы.

1.Формулы прямоугольников:

Модифицированная формула прямоугольников. Функция f (x) на каждом из интервалов заменяется на постоянную . Тогда

.

Погрешность формул прямоугольников равна . Здесь и далее под понимается m-я производная функции f (x), а - точка максимума функции .

2. Формула трапеций. Здесь функция f (x) на каждом интервале заменяется на кусочно-линейную функцию, совпадающую со значениями функции f (x) при и . Формула имеет вид

, .

3. Формула Симпсона (формула парабол). Функция f (x) на каждом ин-тервале заменяется на параболу. Тогда

,

. Здесь следует выбирать четное значение N.

4. Формулы Ньютона-Котеса замкнутого типа. В качестве аппрокси- мирующей функции здесь используются полиномы Лагранжа порядка n.

.

При n > 8 коэффициенты A_i в формулах Ньютона-Котеса имеют громоздкий вид. При метод становится численно неустойчивым из-за представления коэффициентов в виде дробей с большим числом значащих цифр и с разными знаками.

5. Экстраполяция по Ричардсону. Подход к вычислению интеграла состоит в том, что интеграл вычисляется дважды: с числом подинтервалов N и 2N и последующим объединением результатов. Так, при использовании формулы трапеций в качестве базового алгоритма квадратурной формулы получаем

При использовании формулы Симпсона

6. Формула Гаусса. Точность интегрирования по квадратурной формуле (1) можно повысить, если оптимизировать значения узлов и весов . Формула Гаусса, где значения выбираются в соответствии с расположением нулей полиномов Лежандра порядка n, а связаны с этими полиномами

, ,

где n - порядок используемого полинома Лежандра, -неравноотстоящие значения узлов на стандартном интервале , совпадающие с положением нулей соответствующего полинома Лежандра. Значения узлов и коэффициентов для различных n равны:

при : , ;

при : , ;

при : , , , ;

при : , , , ;

при : , , , , ; .

6. Формулы а) Гаусса-Эрмита, б) Гаусса-Лагерра

а) ;

б) ,

где связаны с полиномами Эрмита и Лагерра порядка n.