Выборочные распределения

ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ. Теоретическими вероятностными характеристиками для непрерывной случайной величины являются: плот- ность вероятности ; функция распределения .

Для дискретной случайной величины :

распределение вероятностей функция распределения

При проведении эксперимента теоретическое распределение F_x(x) может быть:

a) либо известно частично, с точностью до некоторых неизвестных параметров;

b) либо полностью неизвестным.

В первом случае экспериментальное определение сводится к оценке параметров распределения, которые находятся из выборочных моментов , рассмотренных в части I работы.

Во втором случае производится непараметрическая оценка распределения на основе 1) эмпирической функции распределения, 2) гистограммы, 3) полигона накопленных частот. Эмпирической функции распределения называется оценка F_x(x) по несгруппированной выборке. Гистограммой называется оценка плотности вероятности по сгруппированным данным. Полигоном накопленных частот называется оценка функции распределения по сгруппированным данным.

I.Правило построения эмпирической функции распределения.

1. Берется выборка объемом n> 100, производится ее упорядочивание .

2. Строится функция , где U(t)- функция Хевисайда

II. Правило построения гистограмм:

1. Берется выборка объемом n> 100, как правило, .

2. Определяется число интервалов группировки r:

a) b) . (8)

Обычно число интервалов группировки 9< r < 21. Если распределение предполагается симметричным, то r желательно брать нечетным.

3. Определяются длина и границы интервалов группировки. Для всех , где

Границы j-ого интервала (9)

Для односторонних распределений (экспоненциального, релеевского, хи-квадрат и др.) а=0.

4. Подсчитывается количество k_j элементов выборки , попавших в интервал группировки Число .

5. Определяются частоты (10)

либо относительные частоты и строится диаграмма из столбцов высотой или .

Гистограмма меньше всего отличается от теоретической в центре интервала группировки

III. Правило построения полигона накопленных частот:

Берется выборка и определяется число интервалов группировки так же, как и при построении гистограммы (пункты 1, 2, 3).

4. Подсчитывается количество К _qэлементов выборки , попавших в интервал ,

(11)

5. Определяются выборочные вероятности

(12)

и строится ступенчатая диаграмма, высота которой равна на интервале

Полигон меньше всего отличается от теоретической функции распределения в конце интервала группировки.

IV. Сравнение теоретического и эмпирического распределений

Вероятностная бумага. Вероятностная бумага принадлежит к полукачественному критерию, на основе которого можно судить о соответствии эмпирического распределения и предполагаемого теоретического распределения.

Этапы проверки:

1. Построение обратной функциональной зависимости для функции распределения (13)

2. Построение полигона накопленных частот

3. Пересчет полигона накопленных частот (14)

4. Построение в системе координат графиков по точкам , где .

5. Если график пересчитанного полигона накопленных частот - прямая линия, то эмпирическое распределение соответствует , иначе соответствия нет.

Критерий согласия (хи-квадрат) Пирсона. Критерий согласия Пирсона принадлежит к универсальным количественным критериям. С помощью этого критерия можно проверить соответствие теоретического и эмпирического распределений для любого типа случайных величин: непрерывных, дискретных. Он имеет вид:

(15)

Здесь п - объем выборки, r - число интервалов группировки, - частота попадания выборки в интервал - теоретическая вероятность попадания случайной величины в интервал ,

- критическое значение, зависящее от параметров a и l, a - уровень значимости (вероятность отбросить правильную гипотезу о соответствии распределений), - число степеней свободы, где v - количество неизвестных параметров в теоретическом распределении, которые доопределяются по той же выборке .

Например:

a) , где т и s известны (или заданы). Тогда v=0.

b) , где т неизвестно, а s задано. Тогда и v=1.

c) , где т и s неизвестны. Тогда , и v=2.

Типичные значения уровня значимости a =0.1, 0.05, 0.01. Чаще всего a =0.1.

Критические значения , являются квантилями вероятностей 1 - a для хи-квадрат распределения с l -степенями свободы - , которые вычисляются при помощи функции Mcad qchisq(1-a, l).