Норма вектора и норма матрицы

При изучении итерационных процессов нам понадобятся понятия норм вектора и матрицы. Введем в п - мерном векторном пространстве Р_п норму вектора.

Нормой вектора называется число , удовлетворяющее следующим аксиомам нормы:

1)

2)

3)

Наиболее употребительны в пространстве векторов следующие нормы:

(3.22)

; (3.23)

. (3.24)

Для всех этих норм выполняются аксиомы нормы. Докажем это для нормы . Выполнение первой аксиомы очевидно. Справедливость второй аксиомы следует из равенства:

Выполнение третьей аксиомы можно доказать, воспользовавшись неравенством Коши - Буняковского [12].

(3.25)

Действительно,

откуда

.

Очевидно, что введенные нормы векторов удовлетворяют следующим соотношениям:

Введем теперь в пространстве матриц понятие нормы матрицы, согласованной с данной нормой вектора (подчиненной данной, норме вектора).

Нормой матрицы А, согласованной с данной нормой вектора, называется число

. (3.26)

Докажем, что для нормы матрицы выполнены все три аксиомы нормы.

Выполнение первой аксиомы очевидно. Далее имеем

Нормами матриц, согласованными с нормами векторов (3.22), (3.23) и (3.24), являются соответственно нормы

(3.27)

(3.28)

, (3.29)

где A' - транспонированная матрица А, а собственные значения матрицы А'А,

i = 1, 2, …, n.

Приведем вывод этих соотношений для вещественного случая. Согласно (3.22)

откуда имеем, что для любого вектора справедливо неравенство

. (3.30)

Пусть достигается при i = e.

Рассмотрим вектор , у которого

Очевидно, что .

,

откуда

(3.31)

Поскольку для всякого вектора и для , в частности, справедливо противоположное неравенство (3.30), заключаем, что

.

Согласно (3.23)

откуда заключаем, что для любого вектора справедливо неравенство

. (3.32)

Пусть .

Рассмотрим вектор , у которого l - я координата равна , а остальные координаты - нули.

Для этого вектора и

откуда

. (3.33.)

Из (3.32) и (3.33) следует, что

.

Согласно (3.26) и (3.24)

.

Матрица A' A -симметрическая, поскольку

.

Известно, что для всякой вещественной симметрической матрицы В существует базис, составленный из ее собственных векторов [8, 11].

Пусть - ортонормированный базис собственных векторов, а – соответствующие собственные значения. Всякий вектор представим в виде

.

Имеем

,

поэтому

(3.34)

и

(3.35)

В то же время

.

Из этих соотношений следует, что

. (3.36)

Поскольку , то все . Полагая в (3.36) В = А'А, получим

,

откуда следует (3.29).

Отметим важный частный случай. Если А - симметрическая матрица, то

.

Поэтому для неё

.

Рассмотрим некоторые свойства нормы матрицы.

I . (3.37)

Из определения нормы матрицы следует, что для любого

.

Для имеем

,

поэтому (3.37) заполняется как строгое равенство.

II. . (3.38)

На основании (3.37)

и, следовательно, имеет место неравенство (3.38).

III. (3.39)

где - наибольшее по модулю собственное значение матрицы А.

Пусть - собственный вектор матрицы А, соответствующий . Имеем

,

,

откуда следует (3.39).