Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Интерполяционный полином, его существование и единственность. Остаточный член.
Будем строить аппроксимирующую функцию в виде . (4.1) Коэффициенты определим из условий . (4.2) Распишем подробно эти условия: . …………….. . Определитель этой системы может быть получен из определителя Вандермонда
транспонированием матрицы и последующей перестановкой ее строк, т.е. будет отличаться от определителя Вандермонда лишь знаком. Последний, как известно, равен [8], т.е. отличен от нуля, если узлы интерполирования xi различны. Следовательно, коэффициенты интерполяционного полинома (4.1) всегда могут быть определены, и при том единственным образом. Таким образом, доказано существование и единственность интерполяционного полинома (4.1). Оценим остаточный член интерполирования , (4.3) где x* – точка, в которой значение функции вычисляется с помощью интерполяционного полинома. Предположим, что узлы упорядочены: и непрерывна на [a, b], .
Введем вспомогательную функцию , (4.4) где константа выбирается так, чтобы , отсюда . (4.5) При таком выборе функция f(x) обращается в нуль в (п+2) точках . На основании теоремы Ролля ее производная F'(x) обращается в нуль, по крайней мере, в (п+1)- й точке. Применяя теорему Ролля к F'(x), получаем, что ее производная F''(x) обращается в нуль по крайней мере в п точках. Продолжая эти рассуждения дальше, получаем, что обращается в нуль по крайней мере в одной точке x, принадлежащей отрезку [a, b]. Поскольку , из условия будем иметь . (4.6) Приравнивая правые части (4.5) и (4.6), получим представление остаточного члена в точке x* , (4.7) где . Остаточная абсолютная погрешность интерполирования в точке может быть оценена как , (4.8) где . Так как точка – произвольная точка отрезка [a, b], выражение (4.7) остаточного члена справедливо для любой точки . Найдем оценку остаточной погрешности интерполирования на всем отрезке [a, b]: ,
где . Оценить при произвольном расположении узлов интерполяции сложно. Если же узлы расположены на одинаковом расстоянии h друг от друга., то имеет примерно такой вид, как показано на рисунке 4.1. для п = 5 [3].
Рис. 4.1.
Вблизи центрального узла интерполяции экстремумы невелики, вблизи крайних узлов – несколько больше, а если Х выходит за крайние узлы интерполяции, то быстро возрастает. Термин «интерполяция» в узком смысле употребляют, если x заключен между крайними узлами; если же он выходит из этих пределов, то говорят об экстраполяции. Очевидно, что при экстраполяции далеко за крайним узлом ошибка может быть велика, поэтому экстраполяция малонадежна.
|