Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Интерполяционный полином Лагранжа. Будем строить интерполяционный полином в виде
|
|
Будем строить интерполяционный полином в виде
, (4.9)
где 
– многочлены степени не выше п, обладающие следующим свойством:
.
Действительно, в этом случае полином (4.9) в каждом узле xj, j=0, 1, …n, равен соответствующему значению функции yj, т.е. является интерполяционным.
Построим такие многочлены. Поскольку 
при x=x0, x1, …xi-1, xi+1, …xn, можно следующим образом разложить на множители
где с – постоянная. Из условия 
получим, что
и 
.
Интерполяционный полином (4.1), записанный в форме
, (4.10)
называют интерполяционным полиномом Лагранжа.
Приближенное значение функции в точке x*, вычисленное с помощью полинома Лагранжа, будет иметь остаточную погрешность (4.8). Если значения функции yi в узлах интерполирования xi заданы приближенно с одинаковой абсолютной погрешностью 
, то вместо точного значения 
будет вычислено приближенное значение 
, причем
,
где 
– вычислительная абсолютная погрешность интерполяционного полинома Лагранжа. Окончательно имеем следующую оценку полной погрешности приближенного значения .
.
В частности, полиномы Лагранжа первой и второй степени будут иметь вид
а их полные погрешности в точке x*
,
где 
; 
.
Существуют другие формы записи того же интерполяционного полинома (4.1), например, рассматриваемая далее интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями и ее варианты. При точных вычислениях значения Рn(х*), получаемые по различным интерполяционным формулам, построенным по одним и тем же узлам, совпадают. Наличие же вычислительной погрешности приводит к различию получаемых по этим формулам значений. Запись многочлена в форме Лагранжа приводит, как правило, к меньшей вычислительной погрешности [1-3].
Использование формул для оценки погрешностей, возникающих при интерполировании, зависит от постановки задачи. Например, если известно количество узлов, а функция задана с достаточно большим количеством верных знаков, то можно поставить задачу вычисления f(x*) с максимально возможной точностью. Если, наоборот, количество верных знаков небольшое, а количество узлов велико, то можно поставить задачу вычисления f(x*) с точностью, которую допускает табличное значение функции, причем для решения этой задачи может потребоваться как разрежение, так и уплотнение таблицы.