Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Конечные разности и их свойства
|
|
Пусть узлы xi, в которых заданы значения функции f(xi)=yi, являются равноотстающими, т.е. x1 = x0+ h, x2 = x1+h = =x0+2h…, xi=x0+ih, …xn = x0+nh, где h – шаг таблицы.
Назовем конечными разностями первого порядка разности
конечными разностями второго порядка
и т.д. Конечные разности (к+1)- го порядка вычисляются по формуле
. (4.19)
Конечные разности, как и разделенные, располагаются в таблице.
| xi | f(xi) | 
| 
| 
| 
|
| x0 | y0 | ||||
| |||||
| x1 | y1 | 
| |||
| 
| ||||
| x2 | y2 | 
| 
| ||
| 
| ||||
| x3 | y3 | 
| |||
| |||||
| x4 | y4 |
Рассмотрим некоторые свойства конечных разностей.
1. Конечная разность связана с соответствующей разделенной разностью следующим соотношением:
. (4.20)
Докажем справедливость этого соотношения методом математической индукции. Для конечных разностей первого порядка имеем
.
Допустим, что соотношение верно для некоторого 
. Тогда,
что и требовалось доказать.
2. Конечная разность связана с соответствующей производной соотношением
. (4.21)
Это равенство непосредственно следует из только что доказанного соотношения (4.20) и ранее доказанного равенства (4.13).
Как следствие (4.21) получим, что конечные разности порядка п от полинома степени п постоянны и равны 
, а конечные разности любого более высокого порядка равны нулю. Однако, этот вывод справедлив лишь для случая, когда исходные значения функции yi являются точными и конечные разности любого порядка подсчитаны без вычислительных погрешностей.
Поскольку числа yi, как правило, задаются с некоторой абсолютной погрешностью D*, конечные разности первого порядка будут иметь абсолютную погрешность 2D*, конечные разности второго порядка - 4D* и т.д., т.е. конечные разности порядка k будут иметь абсолютную погрешность 2kD*.
Если у функции f(x) производные достаточно высоких порядков остаются ограниченными, то согласно (4.21) соответствующие конечные разности 
будут убывать с ростом k. Поэтому, естественно, наступит такой момент, когда погрешности конечных разностей станут сравнимы или даже больше абсолютных величин самих конечных разностей. Следовательно, информация, содержащаяся в таблице этих разностей, станет информацией о погрешностях, а не функции, и использование ее станет нецелесообразным. При этом говорят, что порядок последних конечных разностей, которые еще целесообразно использовать в вычислениях, есть порядок правильности таблицы конечных разностей.