Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Интерполяционные полиномы с центральными разностями
Возьмем в качестве узлов интерполирования точки , где . Построим интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями
Используя симметричность разделенных разностей относительно своих аргументов и связь их с конечными разностями (4.20), получим
Отсюда
Введя переменную , получим первый интерполяционный полином Гаусса, или полином Гаусса для интерполирования вперед,
(4.24)
В этой формуле используются следующие конечные разности (подчеркнуты):
Если взять узлы интерполирования в другом порядке, а именно , то совершенно аналогично можно получить второй интерполяционный полином Гаусса, или интерполяционный полином Гаусса для интерполирования назад,
(4.25) Вторая интерполяционная формула Гаусса использует следующие конечные разности:
Взяв полусумму интерполяционных формул Гаусса, получим интерполяционный полином Стирлинга в виде формулы:
(4.26)
Интерполяционный полином Стирлинга использует следующие конечные разности:
Остаточный член интерполяционных формул (4.24), (4.25) и (4.26) имеет следующий вид (4.27) Например, для полинома Стирлинга второй степени , остаточный член . Получим еще одну форму интерполяционного полинома. Для этого применим вторую интерполяционную формулу Гаусса к точке х1, используя для ее построения узлы . Тогда где . Легко видеть, что , где . Выразим в через t. Получим Полусумма этой формулы и первой формулы Гаусса (4.24), построенной по узлам , даст интерполяционный полином Бесселя: (4.28) Полином Бесселя особенно удобен для интерполирования на середину, т.е. для . Действительно, в этом случае члены, содержащие разности нечетного порядка, обращаются в нуль. В формуле Бесселя используются следующие разности:
Остаточный член интерполяционного полинома Бесселя имеет вид (4.29) В частности, для полинома Бесселя первой и третьей степени остаточные члены имеют вид
|