Интерполяционные полиномы с центральными разностями

Возьмем в качестве узлов интерполирования точки , где . Построим интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями

Используя симметричность разделенных разностей относительно своих аргументов и связь их с конечными разностями (4.20), получим

Отсюда

Введя переменную , получим первый интерполяционный полином Гаусса, или полином Гаусса для интерполирования вперед,

(4.24)

В этой формуле используются следующие конечные разности (подчеркнуты):

xi	yi
x-3	y-3
x-2	y-2
x-1	y-1
x0	y0
x1	y1
x2	y2
x3	y3

Если взять узлы интерполирования в другом порядке, а именно , то совершенно аналогично можно получить второй интерполяционный полином Гаусса, или интерполяционный полином Гаусса для интерполирования назад,

(4.25)

Вторая интерполяционная формула Гаусса использует следующие конечные разности:

xi	yi
x-3	y-3
x-2	y-2
x-1	y-1
x0	y0
x1	y1
x2	y2
x3	y3

Взяв полусумму интерполяционных формул Гаусса, получим интерполяционный полином Стирлинга в виде формулы:

(4.26)

Интерполяционный полином Стирлинга использует следующие конечные разности:

xi	yi
x-3	y-3
x-2	y-2
x-1	y-1
x0	y0	1/2		1/2
x1	y1
x2	y2
x3	y3

Остаточный член интерполяционных формул (4.24), (4.25) и (4.26) имеет следующий вид

(4.27)

Например, для полинома Стирлинга второй степени

,

остаточный член

.

Получим еще одну форму интерполяционного полинома. Для этого применим вторую интерполяционную формулу Гаусса к точке х₁, используя для ее построения узлы . Тогда

где . Легко видеть, что , где . Выразим в через t. Получим

Полусумма этой формулы и первой формулы Гаусса (4.24), построенной по узлам , даст интерполяционный полином Бесселя:

(4.28)

Полином Бесселя особенно удобен для интерполирования на середину, т.е. для . Действительно, в этом случае члены, содержащие разности нечетного порядка, обращаются в нуль. В формуле Бесселя используются следующие разности:

xi	yi
x-3	y-3
x-2	y-2
x-1	y-1
x0	y0
	1/2		1/2		1/2
x1	y1
x2	y2
x3	y3
x4	y4

Остаточный член интерполяционного полинома Бесселя имеет вид

(4.29)

В частности, для полинома Бесселя первой и третьей степени

остаточные члены имеют вид