Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Разделенные разности с повторяющимися (кратными) узлами
|
|
Зададимся последовательностью совокупностей точек
удовлетворяющих условию: все точки 
– различны. В частности, можно положить
,
где 
– малая величина. Построим по всем этим точкам разделенную разность порядка 
. Определим
(5.3)
Рассмотрим сначала случай, когда под знаком разделенной разности левой части (5.3) повторяется только один узел xi и разделенная разность порядка ki-1 вычисляется только по этому повторяющемуся узлу. Согласно определению (5.3)
По формуле связи (4.13) между разделенной разностью и производной имеем
(5.4)
где x – точка, принадлежащая наименьшему отрезку, содержащему все точки 
. Перейдя в равенстве (5.4) к пределу при 
, получим
(5.5)
Итак, если при 
производная 
непрерывна, то существуют разделенные разности
Но это обеспечивает также существование разделенной разности с кратными узлами левой части (5.3), т.к. все остальные разделенные разности, необходимые для ее вычисления, находятся путем последовательного применения рекуррентных формул
и их обобщений. Чтобы не проводить громоздкого вывода для общего случая формулы (5.3), рассмотрим иллюстративную таблицу. Приведенные в этой таблице вычисления переносятся на общий случай без всяких принципиальных затруднений.
Требуется найти 
, если заданы 
.
| № строк | xi | f(xi) | f[xi, xj] | Разности II порядка | III пор. | IV пор | V пор | VI пор |
| x0 | f(x0) | |||||||
| ||||||||
| x0 | f(x0) | f[x0; x0, x1] | ||||||
| f[x0, x1] | f[x0, x0; x1, x1] | |||||||
| x1 | f(x1) | f[x0; x1, x1] | f[x0, x0; x1, x1; x2] | |||||
| f’(x1) | f[x0, x1; x1; x2] | f[x0, x0; x1; x1; x2, x2] | ||||||
| x1 | f(x1) | f[x1, x1; x2] | f[x0; x1, x1; x2; x2] | f[x0, x0; x1; x1; x2, x2, x2] | ||||
| f[x1, x2] | f[x1, x1; x2, x2] | f[x0; x1, x1; x2, x2, x2] | ||||||
| x2 | f(x2) | f[x1; x2, x2] | f[x1, x1; x2, x2, x2] | |||||
| f’(x2) | f[x1; x2; x2, x2] | |||||||
| x2 | f(x2) | 
| ||||||
| f’(x2) | ||||||||
| x2 | f(x2) |
Левый столбец таблицы – для нумерации строк, верхняя строка – для нумерации столбцов. В первом столбце в строках с четным номером приведены аргументы искомой разделенной разности. Во втором столбце в тех строках, что и аргументы, помещены соответствующие значения функции. Третий столбец предназначен для разделенных разностей первого порядка. Они размещаются в строках с нечетными номерами между строк, в которых находятся соответствующие узлы (аргументы) и значения функции. Если узлы повторяются, как это имеет место для строк 1, 5, 9, 11, то сюда помещают значение первой производной. В строках 3, 7 помещены обычные разделенные разности первого порядка. Столбец 4 предназначен для разделенных разностей второго порядка. За исключением последней из них (строка 10), где
,
они находятся обычным способом по рекуррентной формуле. Так,
.
Аналогично и для остальных разностей. В пятом, шестом, седьмом и восьмом столбцах находятся, соответственно, разделенные разности третьего, четвертого, пятого и шестого порядков. Они вычисляются по обычным рекуррентным формулам. Например,
.