Численное интегрирование. Пусть требуется вычислить интеграл

Пусть требуется вычислить интеграл

. (6.1)

Если функция f(x) является непрерывной на отрезке [a, b], то интеграл (6.1) существует и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница

. (6.2)

Однако для большинства функций f(x) первообразную F(x) не удается выразить через элементарные функции. Кроме того, функция f(x) часто задается в виде таблицы ее значений для определенных значений аргумента. Все это порождает потребность в построении формул численного интегрирования или квадратурных формул.

Приближенное равенство

(6.3)

называется квадратурной формулой, определяемой узлами и коэффициентами A_i.

Величина

(6.4)

называется остаточным членом квадратурной формулы.

В зависимости от способа задания подынтегральной функции f(x) будем рассматривать два различных в смысле реализации случая численного интегрирования.

Задача 1. На отрезке [a, b] в узлах x_i заданы значения f_i некоторой функции f, принадлежащей определенному классу F. Требуется приближенно вычислить интеграл (6.1) и оценить погрешность полученного значения.

Так обычно ставится задача численного интегрирования в том случае, когда подынтегральная функция задана в виде таблицы.

Задача 2. На отрезке [a, b] функция f(x) задана в виде аналитического выражения. Требуется вычислить интеграл (6.1) с заданной предельно допустимой погрешностью e.

Рассмотрим алгоритм решения задач 1 и 2.

Алгоритм решения задачи 1.

1. Выбирают конкретную квадратурную формулу (6.3) и вычисляют J_N. Если значения функции f(x) заданы приближенно, то фактически вычисляют лишь приближенное значение для точного J_N.

2. Приближенно принимают, что .

3. Пользуясь конкретным выражением для остаточного члена или оценкой его для выбранной квадратурной формулы, вычисляют погрешность метода

.

4. Определяют погрешность вычисления

по погрешностям приближенных значений f(x_i).

5. Находят полную абсолютную погрешность приближенного значения :

.

6. Получают решение задачи в виде

.

Алгоритм решения задачи 2.

1. Представляют e в виде суммы трех неотрицательных слагаемых:

где e₁ – предельно допустимая погрешность метода: e₂ – предельно допустимая погрешность вычисления ; e₃ – предельно допустимая погрешность округления результата.

2. Выбирают N в квадратурной формуле так, чтобы выполнялось неравенство

.

3. Вычисляют f(x_i) с такой точностью, чтобы при подсчете по формуле (6.3) обеспечить выполнение неравенства

.

Для этого, очевидно, достаточно вычислить все f(x_i) с абсолютной погрешностью

.

4. Найденную в п.3. величину округляют (если ) с предельно допустимой погрешностью до величины .

5. Получают решение задачи в виде

.