Формула прямоугольников. Отрезок [a, b] разделим на N равных частичных отрезков , где .

Допустим, что .

Отрезок [a, b] разделим на N равных частичных отрезков , где .

Тогда

. (6.5)

Обозначим среднюю точку отрезка через

. (6.6)

Запишем для функции f(x) на каждом их отрезков формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

(6.7)

Подставим в правую часть соотношения (6.5) вместо f(x) ее представление (6.7) и получим (6.8):

Используя для вычисления теорему о среднем значении интеграла и учитывая, что , получим

. (6.9)

В силу непрерывности (x) существует такая точка , что

. (6.10)

Используя (6.10), получаем

.

или, так как ,

. (6.11)

Приближенное равенство

(6.12)

называется квадратурной формулой прямоугольников, определяемой узлами и коэффициентами . Величина

(6.13)

является остаточным членом формулы прямоугольников.

Оценка остаточной погрешности формулы прямоугольников может быть записана в виде

, (6.14)

где

.

Выражения для остаточного члена (6.13) и остаточной погрешности (6.14) показывают, что формула прямоугольников (6.12) является точной для любой линейной функции, т.к. вторая производная такой функции равна нулю и, следовательно, .

Оценим вычислительную погрешность формулы прямоугольников, которая возникает за счет приближенного вычисления значений функции f(x) в узлах .

Пусть, например, значения в формуле (6.12) вычислены с одинаковой абсолютной погрешностью , тогда

. (6.15)