Формула Симпсона. Предположим, что . Разделим отрезок [a, b] на четное число равных частей N=2k, тогда

Предположим, что . Разделим отрезок [a, b] на четное число равных частей N=2k, тогда

, (6.26)

где .

Заменим функцию f(x) на каждом отрезке длиной 2h интерполяционным полиномом Лагранжа второй степени и положим

. (6.27)

Возьмем интеграл в правой части (6.27). Получим:

(6.28)

Подставив (6.28) в (6.26), получим квадратурную формулу Симпсона

.

Остаточный член интерполяционного полинома Лагранжа второй степени, построенного на каждом отрезке , равный

,

обращается в нуль, если f(x) – полином второй степени. Следовательно, формула Симпсона является точной для полинома второй степени.

Докажем, что формула Симпсона является точной и для полинома третьей степени. Действительно, для f(x)=x³ имеем по формуле Симпсона

что равно точному значению этого интеграла, полученному по формуле Ньютона-Лейбница

.

Таким образом, формула Симпсона является точной для полинома второй степени и для функции f(x)=x³, а значит, и для произвольного полинома третьей степени.

Получим остаточный член формулы Симпсона. Для этого представим подынтегральную функцию f(x) на каждом отрезке интерполяционным полиномом Эрмита третьей степени с двукратным узлом :

(6.29)

Заменим первую сумму правой части (6.29) формулой Симпсона, которая дает точное значение каждого интеграла .

Вторую сумму преобразуем, интегрируя с помощью теоремы о среднем для определенного интеграла и применяя затем теорему о среднем значении непрерывной функции. Получим

Величина

является остаточным членом формулы Симпсона.