Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурных формул. Уточнение приближенного значения интеграла по Ричардсону
|
|
Пусть функция 
и интеграл (6.1) вычисляется по формуле прямоугольников. Получим следующее соотношение:
, (6.30)
где с – постоянная, не зависящая от h.
Введем вспомогательную функцию
.
Очевидно, что
(6.31)
Разложим функцию F(x) в ряд Тейлора в окрестности точки 
.
(6.32)
С помощью (6.31) и (6.32) имеем
Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим
(6.33)
откуда
(6.34)
На основании (6.11)
,
откуда
(6.35)
Подставим (6.35) в (6.34):
где 
не зависит от h. Соотношение (6.30) получено. Величина ch2 называется главной частью погрешности формулы прямоугольников.
Если , то справедливо аналогичное соотношение и для формулы трапеций
, (6.36)
где 
не зависит от h.
При условии 
можно получить аналогичное соотношение для формулы Симпсона
, (6.37)
где 
– не зависящая от h постоянная.
Обозначим через Jh приближенное значение интеграла (6.1), найденное по одной из трех формул: прямоугольников, трапеций, Симпсона, и объединим соотношения (6.30), (6.36), (6.37) в одно
, (6.38)
где с не зависит от h, k = 2 для формул прямоугольников и трапеций, k = 4 для формулы Симпсона. Предполагается, что 
. Запишем соотношение (6.38) для h1 = 2h:
, (6.39)
вычтем из (6.39) (6.38) и получим
следовательно, с точностью до 
имеем
. (6.40)
Вычисление приближенной оценки погрешности квадратурной формулы по формуле (6.40) называется правилом Рунге.
Вычитая из умноженного на 2k равенства (6.38) равенство (6.39), получим
, (6.41)
откуда
. (6.42)
Число 
называется уточненным по Ричардсону приближенным значением интеграла J.
Согласно (6.42)
.
Таким образом, с помощью приближенных значений интегралов Jh, J2h, найденных по соответствующим квадратурным формулам с шагом h и 2h, можно, во-первых, оценить погрешность более точного значения интеграла Jh по правилу Рунге и, во-вторых, вычислить уточненное по Ричардсону приближенное значение интеграла 
, имеющее погрешность более высокого порядка относительно h, чем Jh.