Интерполирование с кратными узлами и сплайны

Рассмотрим теперь более общую постановку задачи интерполирования полиномами.

В узлах , среди которых нет совпадающих, известны значения функции f(x_i) и ее производных до порядка k_i-1 включительно, . Таким образом, информация о функции f(x) задается следующим образом:

(5.1)

Здесь значения для различных i, вообще говоря, различны, но допустим случай, когда . Следовательно, всего задано величин. Требуется построить алгебраический многочлен степени , для которого выполняются условия

. (5.2)

Многочлен , удовлетворяющий условиям (5.2), называется интерполяционным полиномом Эрмита для функции f(x) или интерполяционным полиномом с кратными узлами. Числа называются кратностями узлов соответственно.

Интерполяционный полином определяется единственным образом. В самом деле, предположив противное, будем иметь два полинома степени m, удовлетворяющих условию (5.2). Тогда их разность удовлетворяет соотношениям

т.е. точки являются корнями полинома кратности соответственно. Мы получили, что многочлен степени m имеет m+1 корней. Следовательно, .

Существование интерполяционного полинома Эрмита докажем, получив для него явное выражение. Далее предположим, что функция f(x) непрерывно дифференцируема (m+1) раз.