Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Разделенные разности и их свойства.
|
|
Понятие разделенной разности является обобщенным понятием производной. Пусть в точках x0, x1, …xn заданы значения функций f(x0), f(x1), …, f(xn). Разделенные разности первого порядка определяются равенствами
разделенные разности второго порядка – равенствами,
а разделенные разности k -го порядка определяются следующей рекуррентной формулой:
(4.11)
Разделенные разности обычно помещаются в таблицу следующего вида:
| хi | f(хi) | Разделение разности | |||
| I порядка | II порядка | III порядка | IV порядка | ||
| х0 | y0 | ||||
| f[x0, x1] | |||||
| х1 | y1 | f[x0, x1, x2] | |||
| f [x1, x2] | f [x0, x1, x2, x3] | ||||
| х2 | y2 | f [x1, x2, x3] | f[x0, x1, x2, x3, x4] | ||
| f [x2, x3] | f [x1, x2, x3, x4] | ||||
| х3 | y3 | f [x2, x3, x4] | |||
| f [x3, x4] | |||||
| х 4 | y4 |
Рассмотрим следующие свойства разделенных разностей.
1. Разделенные разности всех порядков являются линейными комбинациями значений f(xi), т.е. имеет место следующая формула:
. (4.12)
Докажем справедливость этой формулы индукцией по порядку разностей. Для разностей первого порядка
.
Формула (4.12) справедлива. Предположим теперь, что она справедлива для всех разностей порядка 
.
Тогда, согласно (4.11) и (4.12) для разностей порядка k=п+1 имеем
Слагаемые, содержащие f(x0) и f(xn+1), имеют требуемый вид. Рассмотрим слагаемые, содержащие f(xi), i=1, 2, …, n. Таких слагаемых два - из первой и второй сумм:
т.е. формула (4.12) справедлива для разности порядка k=п+1, доказательство закончено.
2. Разделенная разность есть симметрическая функция своих аргументов x0, x1, …xn (т.е. не меняется при любой их перестановке):
.
Это свойство непосредственно следует из равенства (4.12).
3. Простую связь разделенной разности f[x0, x1, …, xn] и производной f(n) (x) дает следующая теорема.
Пусть узлы x0, x1, …xn принадлежат отрезку [a, b] и функция f(x) имеет на этом отрезке непрерывную производную порядка п. Тогда существует такая точка xÎ [a, b], что
. (4.13)
Докажем сначала справедливость соотношения
(4.14)
где 
.
Согласно (4.12) выражение в квадратных скобках есть
f [x0, x1, …, xn, x].
Из сравнения (4.14) с выражением (4.7) для остаточного члена Rn(x)=f(x)-Ln(x) получим (4.13), теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает простое следствие. Для полинома п -ой степени
f(x) = a0 xn+a1 xn-1+…an
производная порядка п, очевидно, есть
и соотношение (4.13) дает для разделенной разности значение
.
Итак, у всякого многочлена степени п разделенные разности порядка п равны постоянной величине – коэффициенту при старшей степени многочлена. Разделенные разности высших порядков (больше п), очевидно, равны нулю. Однако этот вывод справедлив лишь в случае отсутствия вычислительной погрешности у разделенных разностей.