Интерполирование.

Задача приближения (аппроксимации) функций возникает и как самостоятельная, и при решении многих других задач. Простейшая ситуация, приводящая к приближению функций, заключается в следующем. При некоторых значениях аргумента х₀, х₁, …х_n, называемых узлами, заданы значения функции y_i=f(x_i), i=0, 1..., n. Требуется восстановить значения функции при других x. Подобная же задача возникает при многократном вычислении на ЭВМ одной и той же сложной функции в различных точках. Вместо этого часто бывает целесообразно вычислять значения этой функции в небольшом числе характерных точек x_i, а в остальных точках вычислять ее значения по некоторому более простому правилу, используя информацию об уже известных значениях y_i.

Другими распространенными примерами приближения функций являются задачи определения производной f'(x) и интеграла по заданным значениям y_i.

Классический подход к решению подобных задач заключается в том, чтобы, используя имеющуюся информацию о функции f(x), рассмотреть другую функцию , близкую к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующую операцию и получить оценку погрешности такой «аналитической замены».

При выборе класса, к которому принадлежит аппроксимирующая функция , следует руководствоваться тем, что , с одной стороны, должна отражать характерные особенности аппроксимируемой функции f(x), с другой стороны, быть достаточно удобной в обращении.

Вопрос о близости аппроксимируемой и аппроксимирующей функций решается по-разному. Если параметры, от которых зависит функция , определяются из условия совпадения значений функций f(x) и в узлах, то такой способ аппроксимации называется интерполированием (интерполяцией).

Наличие большого количества различных способов приближения объясняется многообразием различных постановок задачи. Далее мы рассмотрим лишь один раздел теории приближения – интерполирование многочленами. Аппарат интерполирования многочленами является важнейшим аппаратом численного анализа. На его основе строится большинство численных методов решения других задач.