Метод простой итерации. Простейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации

Простейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации. Система уравнений (3.1) преобразуется к эквивалентному виду

. (3.40)

Метод простой итерации состоит в следующем. Выбирается произвольный вектор (начальное приближение) и строится итерационная последовательность векторов по формуле

(3.41)

Приведем теорему о достаточном условии сходимости метода простой итерации.

Если , то система уравнений (3.40) имеет единственное решение и итерационный процесс (3.41) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии.

Допустим, что - одно из решений системы (3.40), т.е. выполняется равенство

. (3.42)

Отсюда, используя третью аксиому нормы и неравенство (3.37), получим

и

или, поскольку ,

.

Из этого неравенства следует единственность решения однородной системы , т.е. при , а следовательно, существование и единственность решения системы (3.41) при любом свободном члене .

Вычтем из равенства (3.42) равенство (3.41). Получим

(3.43)

и, следовательно,

.

Отсюда на основании (3.37) имеем

,

т.е. норма разности между точным решением и -м приближением стремится к нулю при не медленнее геометрической прогрессии со знаменателем .

Оценим погрешность -го приближения. Преобразуем равенство (3.43) к виду

.

Согласно третьей аксиоме нормы и равенству (3.37)

,

откуда

. (3.44)

Кроме того, в силу (3.43) имеем

. (3.45)

Из (3.44) и (3.45) окончательно получаем

.

Приведем без доказательства теорему о необходимом и достаточном условии сходимости метода простой итерации.

Пусть система (3.40) имеет единственное решение. Итерационный процесс (3.41) сходится к решению системы (3.40) при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы В по модулю меньше единицы.

Эта теорема дает более общие условия сходимости метода простой итерации, однако воспользоваться ею в общем случае непросто. В частном случае, когда матрица В симметрическая, можно воспользоваться изложенным в разделе 3.5 методом отыскания максимального по модулю собственного значения, чтобы проверить условия этой теоремы.

Некоторую модификацию метода простой итерации представляет собой метод Зейделя. Основная его идея заключается в том, что при вычислении - го приближения неизвестной используются уже вычисленные ранее - е приближения неизвестных :

.

Условия сходимости методов простой итерации и Зейделя не совпадают, но пересекаются. Обычно метод Зейделя сходится быстрее, чем метод простой итерации [4, 5].