Решение систем нелинейных уравнений

В отличие от систем линейных уравнений для систем нелинейных уравнение не известны прямые методы решения. Лишь в отдельных случаях систему можно решить непосредственно. Например, для системы из двух уравнений иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного. Поэтому итерационные методы для нелинейных систем приобретаю особую актуальность.

Метод Ньютона

Рассмотрим нелинейную систему уравнений

(4.10)

или в векторной форме

f(x)=0 (4.10’)

где

, .

Для решения системы (4.10’) будем пользоваться методом последовательных приближений.

Предположим, известно k-е приближение

точный корень уравнения (4.10’) можно представить в виде

, (4.11)

где - поправка (погрешность корня).

. (4.12)

Предполагая, что функция f(x) непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей x и x^(k), разложим левую часть уравнения (4.12) по степеням малого вектора , ограничиваясь линейными членами,

(4.13)

Метод Ньютона решения системы (4.10) состоит в построении итерационной последовательности:

k=0, 1, 2, … (4.15)

Если все поправки становятся достаточно малыми, счет прекращается. Иначе новые значения x_i используются как приближенные значения корней, и процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено решение или не станет ясно, что получить его не удается.