Глобальная интерполяция. Параболическая интерполяция

Параболическая интерполяция

Классический подход основывается на требовании строгого совпадения значений f(x) и в точках x_i (i=0, 1, …, n) (6.3).

Будем искать интерполяционную функцию в виде полинома степени n (6.4).

Этот полином имеет n+1 коэффициент. Естественно предположить, что n+1 условий (6.3), наложенные на полином (6.4), позволяют однозначно определить его коэффициенты. Действительно, требуя для выполнения условий (6.3), получаем систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными:

, (i=0, 1, …, n) (6.5)

Решая эту систему относительно неизвестных , мы получим аналитическое выражение полинома (6.4). Система (6.5) всегда имеет единственное решение, т.к. ее определитель

,

известный в алгебре как определитель Вандермонда, отличен от нуля. Отсюда следует, что интерполяционный полином для функции f(x), заданной таблично, существует и единственен.

Интерполяционная формула Лагранжа

Пусть на отрезке [a; b] даны n+1 различных значений аргумента: и известны для функций y=f(x) соответствующие значения выражений (6.1).

Требуется построить полином L_n (x) степени не выше n, имеющий в заданных узлах те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что

L_n (x_i)=y_i, (i=0, 1, …, n)

Будем искать L_n (x) в виде

(6.6)

где - полином степени n, причем

(6.7)

Очевидно, что требование (6.7) с учетом (6.6) обеспечивает выполнение условий (6.3).

Так как искомый полином обращает в нуль в n точках , то он имеет вид

(6.8)

Где - постоянный коэффициент. Полагая в формуле (6.8) x=x_i и учитывая, что , получим:

.

Отсюда

.

Заметим, что ни один из множителей не равен нулю. Подставляя C_i в (6.8), а также с учетом (6.6) окончательно имеем:

. (6.9)

Это и есть интерполяционная формула Лагранжа.