Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Общая характеристика одношаговых методов
1. Чтобы получить информацию в новой точке, надо иметь данные лишь в одной предыдущей точке. Это свойство можно назвать «самостартованием». 2. Все одношаговые методы не требуют действительного вычисления производных - вычисляется лишь сама функция, однако могут потребоваться ее значения в нескольких промежуточных точках. Это влечет за собой, конечно, дополнительные затраты времени и усилий. 3. Свойство «самостартования» позволяет легко менять величину шага h.
Методы прогноза и коррекции Для вычисления значения yi+1 используются результаты не одного, а k предыдущих шагов, т.е. значения . В этом случае получается k - шаговый метод. Многошаговые методы могут быть построены следующим образом. Запишем исходное уравнение (12.3) в виде: (12.9) Проинтегрируем обе части этого уравнения по x на отрезке (xi, xi+1). Интеграл от левой части вычисляется легко: (12.10) Для вычисления интеграла от правой части уравнения (12.9) строится сначала интерполяционный многочлен Pk-1(x) степени k-1 для аппроксимации функции f(x, y) на отрезке [xi, xi+1] по значениям . После этого можно записать (12.11) Приравнивая выражения, полученные в (12.10) и (12.11), можно получить формулу для определения неизвестного значения сеточной функции yi+1 в узле xi+1: (12.12) На основе этой формулы можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности. Порядок точности зависит от степени интерполяционного многочлена Pk-1(x), для построения которого используются значения сеточной функции , вычисленные на k предыдущих шагах.
Метод Адамса Широко распространенным семейством многошаговых методов являются методы Адамса. Простейший из них, получающийся при k=1, совпадает с рассмотренным ранее методом Эйлера первого порядка точности. В практических расчетах чаще всего используется вариант метода Адамса, имеющий четвертый порядок точности и использовавший на каждом шаге результаты предыдущих четырех. Именно его и называют обычно методом Адамса. Пусть найдены значения в четырех последовательных узлах (k=4). При этом имеются также вычисленные ранее значения правой части . В качестве интерпретации многочлена P3 (x) можно взять многочлен Ньютона. В случае постоянного шага h конечные разности в узле xi имеют вид: тогда разностная сумма четвертого порядка метода Адамса запишется в виде: (12.13) Сравнивая метод Адамса с методом Рунге - Кутты той же точности, отмечаем его экономичность, поскольку он требует вычисления лишь одного значения правой части на каждом шаге (метод Рунге - Кутты - четырех). Но метод Адамса неудобен тем, что невозможно начать счет лишь по известному значению y0. Расчет может быть начат лишь с узла x3. Значения необходимые для вычисления y3, нужно получить каким-либо другим способом (например, методом Рунге - Кутты), что существенно усложняет алгоритм. Метод Адамса не позволяет (без усложнения формул) изменить шаг h в процессе счета; этого недостатка лишены одношаговые методы.
|