Общая характеристика одношаговых методов

1. Чтобы получить информацию в новой точке, надо иметь данные лишь в одной предыдущей точке. Это свойство можно назвать «самостартованием».

2. Все одношаговые методы не требуют действительного вычисления производных - вычисляется лишь сама функция, однако могут потребоваться ее значения в нескольких промежуточных точках. Это влечет за собой, конечно, дополнительные затраты времени и усилий.

3. Свойство «самостартования» позволяет легко менять величину шага h.

Методы прогноза и коррекции

Для вычисления значения y_i+1 используются результаты не одного, а k предыдущих шагов, т.е. значения . В этом случае получается k - шаговый метод.

Многошаговые методы могут быть построены следующим образом. Запишем исходное уравнение (12.3) в виде:

(12.9)

Проинтегрируем обе части этого уравнения по x на отрезке (x_i, x_i+1). Интеграл от левой части вычисляется легко:

(12.10)

Для вычисления интеграла от правой части уравнения (12.9) строится сначала интерполяционный многочлен P_k-1(x) степени k-1 для аппроксимации функции f(x, y) на отрезке [x_i, x_i+1] по значениям

.

После этого можно записать

(12.11)

Приравнивая выражения, полученные в (12.10) и (12.11), можно получить формулу для определения неизвестного значения сеточной функции y_i+1 в узле x_i+1:

(12.12)

На основе этой формулы можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности. Порядок точности зависит от степени интерполяционного многочлена P_k-1(x), для построения которого используются значения сеточной функции , вычисленные на k предыдущих шагах.

Метод Адамса

Широко распространенным семейством многошаговых методов являются методы Адамса. Простейший из них, получающийся при k=1, совпадает с рассмотренным ранее методом Эйлера первого порядка точности. В практических расчетах чаще всего используется вариант метода Адамса, имеющий четвертый порядок точности и использовавший на каждом шаге результаты предыдущих четырех. Именно его и называют обычно методом Адамса.

Пусть найдены значения в четырех последовательных узлах (k=4). При этом имеются также вычисленные ранее значения правой части . В качестве интерпретации многочлена P₃ (x) можно взять многочлен Ньютона. В случае постоянного шага h конечные разности в узле x_i имеют вид:

тогда разностная сумма четвертого порядка метода Адамса запишется в виде:

(12.13)

Сравнивая метод Адамса с методом Рунге - Кутты той же точности, отмечаем его экономичность, поскольку он требует вычисления лишь одного значения правой части на каждом шаге (метод Рунге - Кутты - четырех). Но метод Адамса неудобен тем, что невозможно начать счет лишь по известному значению y₀. Расчет может быть начат лишь с узла x₃. Значения необходимые для вычисления y₃, нужно получить каким-либо другим способом (например, методом Рунге - Кутты), что существенно усложняет алгоритм. Метод Адамса не позволяет (без усложнения формул) изменить шаг h в процессе счета; этого недостатка лишены одношаговые методы.