Уравнения первого порядка

Будем считать, что искомая функция u зависит от времени t и одной пространственной переменной x. Тогда линейное уравнение переноса может быть записано в виде:

(13.6)

Расчётная область при решении уравнения (13.6) может быть как бесконечной, так и ограниченной. В первом случае, задавая начальные условия при t=0

(13.7)

получаем задачу Коши для полуплоскости . На практике обычно приходится решать уравнение переноса в некоторой ограниченной области (например, в прямоугольнике ). Начальное условие (13.7) в этом случае задаётся на отрезке l₁; граничное условие нужно задать при x=0, т.е. на отрезке l₂, поскольку a> 0 возмущение распространяется вправо. Это условие записывается в виде

(13.8)

значит, задача состоит в решении уравнения (13.6) с начальными и граничными условиями (13.7) и (13.8) в ограниченной области G:

.

Построим в области G равномерную прямоугольную сетку с помощью прямых (i=0, 1, …, I) и (j=0, 1, …, J). Вместо функции будем рассматривать сеточные функции, значения которых в узлах (x_i, t_j) соответственно равны . Для построения разностной схемы нужно выбрать шаблон. Примем его в виде правого нижнего уголка.

При этом входящие в уравнение (13.6) производные аппроксимируют конечноразностными соотношениями с использованием односторонних разностей:

(13.9)

Решая разностное уравнение относительно единственного неизвестного значения на j+1 слое, получаем следующую схему:

i=1, 2, …, I и j=0, 1, …, J-1. (13.10)

Полученная схема явная - т.е. значения сеточной функции в каждом узле верхнего слоя t=t_j+1 выражаются явно с помощью соотношения (13.10) через ранее найденные её значения на предыдущем слое.

Для начала счёта по схеме (13.10), т.е. для высчитывания сеточной функции на 1-ом слое, необходимы её значения на слое j=0. Они определяются начальными условиями (13.7), которые записываем для сеточной функции: , i=0, 1, 2, …, I (13.11)

Граничное условие (13.8) также записывается в сеточном виде:

j=0, 1, …, J. (13.12)

Таким образом, решение исходной дифференциальной задачи (13.6) - (13.8) сводится к решению разностной задачи (13.10) - (13.12).

Найденное значение сеточной функции принимаются в качестве значений искомой функции U в узлах сетки.

Схема условно устойчива; условие устойчивости имеет вид:

(13.13)

Если a< 0 условие (13.13) не выполняется, и схема (13.10) не сходится.

Можно построить сходящуюся схему и для случая a< 0. В качестве шаблона возьмем левый нижний уголок:

(13.14)

эта схема сходится если

(13.15)

При построении явной разностной схемы (13.10) производная в
уравнении (13.6) аппроксимирована с помощью значений сеточной функции на j-ом слое; в результате получилось разностное уравнение (13.9), в котором использовано значение сеточной функции лишь в одном узле верхнего слоя. Если производную аппроксимировать на (j+1)-м слое (правый уголок), то получится неявная схема. Разностное уравнение.

(13.16)

Разрешая это уравнение относительно , приходим к следующей схеме:

, (13.17)

Эта двухслойная трехточечная схема первого порядка точности. Она, безусловно, устойчива. Хотя формально данная схема строилась как неявная, практическая организация счёта по ней проводится так же, как и для явной схемы.

Эти разностные схемы решения уравнения линейного переноса называются схемами бегущего счёта. Они позволяют последовательно находить значения сеточной функции в узлах разной сетки.