Типы дифференциальных уравнений в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных классифицируют либо в зависимости от математической природы - эллиптические, параболические и т.п., - либо в зависимости от физического смысла решаемых с их помощью задач - уравнение диффузии, волновое и т.п.

Чтобы пользоваться математической литературой и литературой по прикладным дисциплинам, инженер должен быть знаком с обеими этими классификациями.

Мы будем рассматривать лишь достаточно узкий класс задач для уравнений первого и второго порядков, линейных относительно производных. Напомним, что порядок дифференцирования уравнения определяется порядком старшей производной.

В случае 2-х независимых переменных X и Y эти уравнения можно записать в виде:

(13.1)

здесь u=u(x, y) искомая функция. Коэффициенты a, b, c, d, e, f и правая часть g, вообще говоря, могут зависеть от переменных x, y и искомой функции u. В связи с этим уравнение (13.1) может быть:

1. с постоянными коэффициентами;

2. линейным, если g линейно зависит от u, а коэффициенты зависят только от x, y;

3. квазилинейным, если коэффициенты зависят от u, это самый общий вид (13.1).

Существуют различные виды уравнений в зависимости от соотношения между коэффициентами. Рассмотрим некоторые из них. При a=b=c=f=0, получается уравнение первого порядка вида:

(13.2)

называемое уравнение переноса. На практике в этом уравнении одной из переменных может быть время t. Тогда его называют также эволюционным уравнением.

Если хотя бы один из коэффициентов a, b, c отличен от нуля, то (13.1) является уравнением второго порядка. В зависимости от знака дискриминанта оно может принадлежать к одному из трёх типов:

1. гиперболическому (D> 0);

2. параболическому (D=0);

3. эллиптическому (D< 0).

Приведём примеры уравнений с частными производными, которые будем рассматривать:

1. Волновое уравнение (гиперболическое)

(13.3)

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, спектр колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д.

2. Уравнение теплопроводимости, или уравнение Фурье (параболическое)

(13.4)

Процессы распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде (направление фильтрации нефти и газа в подземных песчаниках), некоторые вопросы теории вероятностей.

3. Уравнение Лапласа (эллиптическое)

(13.5)

Метод конечных разностей

В основе решения уравнений в частных производных методом конечных разностей лежит конечноразностная аппроксимация производных. Аппроксимация осуществляется в 3 этапа:

1. Построение в области решения равномерной сетки, содержащей n узловых точек. Конфигурация сетки должна соответствовать характеру задачи и граничным условиям.

2. Использование дифференциальных уравнений в частных производных для получения разностного выражения, описывающего функциональные связи между соседними узлами сетки. Разностное уравнение записывают для всех узлов сетки и получают в результате систему n уравнении с n неизвестными.

3. Решение полученной системы n уравнений с n неизвестными с целью получения приближённого решения в узлах сетки.

Рис. 13.1. Двумерная сетка

На первый взгляд, эта процедура, состоящая из 3-х этапов, может показаться простой и прямо ведущей к решению, однако на самом деле это не так. Широкое разнообразие типов и размеров сеток, видов уравнений в частных производных, возможных конечно разностных аппроксимаций этих уравнений и методов решения получаемых систем уравнений делают задачу численного решения уравнения в частных производных исключительно многогранным и интересным исследованием. Рассмотрим теперь все 3 этапа решения.

Сетки, применяемые при представлении дифференциальных уравнений частных производных в конечно разностной форме

Как уже отмечалось, построение разностных схем решения уравнения с частными производными основано на введении сетки в рассматриваемом пространстве. Узлы сетки являются расчётными точками.

Все ранее приведённые уравнения в частных производных были записаны в декартовой системе координат, однако иногда бывает удобнее пользоваться другими системами координат, обладающими специальными геометрическими свойствами и учитывающими физические особенности рассматриваемой задачи. Чаще всего применяется декартова, цилиндрическая и сферическая системы координат.