Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности

Пусть в квадратурном правиле

(4.25)

есть любой конечный или бесконечный отрезок и весовая функция такова, что ее произведение на любую неотрицательную степень абсолютно интегрируемо на :

.

Кроме того, будем считать функцию не эквивалентной нулю, т. е.

.

Квадратурное правило (4.25) при фиксированном содержит параметров: , и выбрать их можно так, чтобы равенство (4.25) выполнялось точно для всех алгебраических многочленов степени не выше или, что равносильно, чтобы выполнялись равенства:

(4.26)

Равенства (4.26) образуют систему из уравнений относительно неизвестных , но в силу того, что данная система является нелинейной, ее решение весьма затруднительно.

Введем многочлен

,

корнями которого являются узлы квадратурного правила, и выясним условия, при которых формула (4.25) выполняется точно для всех многочленов степени не выше .

Теорема 4.2. Для того, чтобы квадратурное правило (4.25) было точным для всех алгебраических многочленов степени не выше , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) правило было интерполяционным, то есть коэффициенты определялись по формулам:

, (4.27)

2) многочлен был ортогонален на по весу ко всякому многочлену степени меньшей :

.

Доказательство.

Необходимость. Необходимость первого условия очевидна: если равенство (4.25) верно для всякого многочлена степени не выше , то оно верно и для многочленов степени не выше и, следовательно, должно быть интерполяционным согласно теореме 4.1.

Докажем необходимость второго условия. Пусть любой многочлен степени меньше . Положим . Так как − многочлен степени меньше , то для него правило (4.25) должно быть точным, но в силу того, что получаем

.

Достаточность. Пусть − произвольный многочлен степени меньше . Разделив на , получим

,

где и многочлены степени меньше . Кроме того, так как , то , и

.

Первый интеграл в правой части равен нулю по второму условию теоремы и, так как по первому условию правило (4.25) является интерполяционным, то верно равенство

,

что доказывает достаточные условия теоремы.

Таким образом, доказанная теорема сводит вопрос о возможности построения правила (4.25), точного для всех многочленов степени меньше , к вопросу о существовании многочлена , обладающего свойством ортогональности по весу ко всякому многочлену степени меньше на .

Теорема 4.3. Если весовая функция не меняет знак на (например , то существует и при этом единственный многочлен ортогональный на по весу ко всякому многочлену степени меньшей .

Доказательство. Запишем многочлен в виде

.

Условие ортогональности можно записать в виде

(4.28)

Равенства (4.28) представляют собой неоднородную систему из линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , которая имеет единственное решение, если ее определитель отличен от нуля. Запишем соответствующую однородную систему

.

Достаточно убедиться в том, что однородная система имеет только нулевое решение, так как отсюда следует, что определитель соответствующей неоднородной системы отличен от нуля, и она имеет единственное решение. Если выписать уравнения однородной системы для , умножить их последовательно на и сложить, то получится равенство

. (4.29)

Если бы многочлен не был бы тождественным нулем, он мог бы обращаться в нуль не более чем в точках и равенство (4.29) не могло бы выполняться, так как

, .

Значит многочлен , все его коэффициенты тождественно равны нулю и однородная система имеет только нулевое решение. Следовательно, определитель системы (4.29) и совпадающий с ним определитель системы (4.28) отличен от нуля. Тогда система (4.28) имеет единственное решение и, следовательно, существует единственный многочлен , ортогональный на по весу любому многочлену степени меньше .

Теорема 4.4. Если весовая функция не меняет знак на и многочлен ортогонален на по весу ко всякому многочлену степени, меньшей , то все корни многочлена действительные, различные и лежат внутри .

Доказательство. Пусть − корни многочлена , которые имеют нечетную кратность и лежат внутри . Для доказательства теоремы достаточно показать, что , так как отсюда следует, что никаких других корней у многочлена нет и все корни – действительные, простые и принадлежат .

Предположим, что и покажем, что это противоречит свойству ортогональности многочлена . Составим многочлен

.

Так как степень меньше , то для него должно выполняться равенство

.

Это равенство не может быть выполнено, так как и имеют внутри одинаковые точки перемены знака и произведение сохраняет знак на . Кроме того, произведение обращается в нуль только в конечном числе точек, так как и отличны от тождественного нуля. Ввиду того, что вес также сохраняет знак на и не эквивалентен нулю, интеграл должен быть отличен от нуля, а это противоречит предыдущему.

Теорема 4.5. Если весовая функция не меняет знак на , то ни при каком выборе и равенство (4.25) не может быть верным для всех многочленов степени .

Доказательство. Для проверки правильности утверждения теоремы достаточно построить многочлен степени , для которого квадратурное правило (4.25) не может быть выполнено точно. Положим . Это положительный многочлен степени . Для него

,

а сумма

так как . Отсюда следует, что при знакопостоянной весовой функции степень точности действительно является наивысшей возможной.

Теорема 4.6. Если и квадратурное правило (4.25) верно для всех многочленов степени , то все коэффициенты в нем положительны.

Доказательство. Положим

.

Это есть многочлен степени и для него выполняется равенство

.

Но

и, следовательно,

,

.

Теорема доказана.

Для вычисления коэффициентов ранее было получено выражение (4.27). Если систему многочленов, ортогональных на по весу , записать в виде

,

то путем некоторых преобразований можно получить более удобное для вычислений выражение

.

Теорема 4.7. Если сохраняет знак на и имеет непрерывную производную порядка на , то существует такая точка , что для остатка

квадратурного правила наивысшей алгебраической степени точности верно равенство

.

Доказательство. Пусть − интерполяционный многочлен степени не выше , удовлетворяющий условиям

.

В предположении о непрерывности , погрешность интерполирования может быть представлена в форме (остаточный член многочлена Эрмита)

,

где − некоторая точка отрезка, содержащего и . Тогда

.

Так как квадратурное правило является точным для всех алгебраических многочленов степени не выше , то

и погрешность квадратурного правила определяется выражением

.

Так как и не меняют знаков на и непрерывна на , то, согласно теореме о среднем, существует такая точка что

.

Теорема доказана.

Рассмотрим вопрос сходимости квадратурного правила наивысшей алгебраической степени точности.

Пусть весовая функция неотрицательна. Квадратурное правило наивысшей алгебраической степени точности может быть построено для любого . Узлы и коэффициенты правила будут иметь свои значения для каждого . Обозначим их . Тогда можно записать квадратурное правило следующим образом:

.

Говорят, что квадратурный процесс сходится для функции , если

Теорема 4.8. Если , отрезок конечный и замкнутый и функция непрерывна на нем, то квадратурный процесс наивысшей алгебраической степени точности сходится.

Доказательство. Ввиду непрерывности функции , при всяком существует многочлен такой, что при любом выполняется неравенство

.

Тогда

.

Но

.

Кроме того, так как

,

то

.

Если есть степень многочлена , то при

и для каких

,

что доказывает теорему.