Общая интерполяционная квадратура

Рассмотрим задачу вычисления интеграла при помощи некоторого числа значений интегрируемой функции. Достоинство этого метода состоит в его простоте и универсальности.

Пусть любой конечный или бесконечный отрезок числовой оси. Требуется найти приближенное значение интеграла

по значениям функции в точках

Многие правила численного интегрирования основаны на замене интегрируемой функции на всем отрезке или на его частях на более простую функцию, близкую к , легко интегрируемую точно и принимающую в точках те же значения, что и . В качестве такой функции достаточно часто используют алгебраический многочлен или рациональную функцию. В том случае, если интегрируемая функция является достаточно гладкой, то можно рассчитывать хорошо приблизить ее многочленом невысокой степени или несложной рациональной функцией. Если же сама функция имеет особенности, то это затруднит такое приближение или сделает его вообще невозможным. В этом случае заранее освобождаются от этих особенностей путем их выделения. Для этого функцию представляют в виде произведения двух функций:

,

где имеет те же особенности, что и , и называется весовой функцией или весом, а является достаточно гладкой функцией. Тогда задача заключается в вычислении интеграла вида:

. (4.1)

Правила вычисления интегралов в большинстве своем являются специализированными, предназначенными для численного интегрирования функций, имеющих те же особенности, что и весовая функция . Поэтому при вычислении интеграла (4.1) функция считается фиксированной, а – любой достаточно гладкой функцией на .

Общая интерполяционная квадратура заключается в том, что вычисление интеграла заменяют вычислением некоторой суммы

. (4.2)

Формула (4.2) называется квадратурной формулой, сумма в (4.2) – квадратурной суммой, − квадратурными узлами и коэффициентами.

При построении интерполяционной квадратурной формулы функцию представляют в виде суммы интерполяционного многочлена Лагранжа и его остаточного члена

где

,

,

,

– некоторая точка интервала .

Тогда

,

где

, (4.3)

. (4.4)

Квадратурное правило, коэффициенты которого вычисляются согласно (4.3), называется интерполяционным. Величина (формула (4.4)) является остаточным членом или погрешностью квадратурной формулы.

Теорема 4.1. Для того чтобы квадратурное правило (4.2) было точным для всех алгебраических многочленов степени , необходимо и достаточно, чтобы оно было интерполяционным.

Доказательство.

Необходимость. Любой алгебраический многочлен степени можно единственным образом представить в виде многочлена Лагранжа, то есть если многочлен степени , то

.

Так как квадратурное правило (4.2) является точным для всех алгебраических многочленов степени , то

Отсюда следует, что

и квадратурное правило является интерполяционным.

Достаточность. Пусть − произвольный многочлен степени . Интерполируя по значениям в узлах и, учитывая единственность интерполяционного многочлена, получим

.

Так как квадратурное правило является интерполяционным, то

.

Таким образом

и квадратурное правило является точным для любого многочлена степени . Теорема доказана.

Говорят, что квадратурное правило имеет алгебраическую степень точности , если максимальная степень алгебраического многочлена, для которого квадратурное правило является точным, равна . Из теоремы 4.1 следует, что степень точности интерполяционного квадратурного правила равна .